OA := P, OB = Q, OG-R
il s'agit de prouver que l'on a
R^ =^ P= + Q' -t- 2PQ ces AOB.
On a en effet, dans le triangle AOC,
Ôg' = ÔÂ' H- ÂC' — 2AC . OA cos OAC, et, en remaniuant que cos AOC — — cos AOB, il vient (1) R^ = P^-+-Q^-|-2PQcos AOB.
yGoosle
ciiAPiïaii îii a
On retrouve la résultante de deux forces agissant suivant la même droite en supposant que AOB est égal à zéro ou à ISO", car, dans le premier cas, cos AOB — I, et par suite
R^ = (P + Qf, d'où R=:P + Q.
De mémo, dans le second cas, cos AOB =: — 1 ; par suite
ai P > û, on a
R^ = (P-Q,% d'où R = P — Q.
2" Si R est la résultante de deux forces P et Q, chacune de ces trois forces est proportionnelle au sinus de l'angle foi'mé par les deux autres.
On a en effet, dans le triangle OAC,
OA AC OC ^ sin OCA ■' sin AOC ~ sin OAC ' on en iléduit
^ ' sin (Q, R) " ' sin (U, P) sin (P, Q)
67. Cas particulier. — Supposons les deux forces P et Q ^ n rectangulaires et appelons » l'angle de la /i ~~^^ force P avec la résultante R. On a imniédia-
^^ I temcnl. P = R cos a,
U:iï* =J Q = R sin a,
On en déduit
cos.==-, sma=-. tg^= p.
forniulûs (|ui permettent de calculer P et en fonction de R et de a, ou inversement.
68. Décomposition d'une force en deux autres. — Au point de me géométrique, comme an point de vue analytique, cela revient à construire ou îi résoudre le triangle OAC, connaissant un côté OG et deux autres éléments. On a donc les cas classi- <]ues de construction ou de résolution des triangles et les discussions correspondantes.
69. Composition d'un nombro quelconque do forces appliquées au même poinl. — Tbéorème. — La résultante de plu-
égal et parallèle à OB et d
sieurs forces appliquées au même point est représentée en grandeur, direction et sens, par la somme géométrique des vecteurs qui représentent ces forces.
Considérons par exemple quatre forces OA, OB, OC, CD.
Pour obtenir leur résultante, nous déterminons d'abord la résultante OB' des deux forces OA fit OB, en construisant le parallélogramme OAB'B ou, ce qui revient au même, en menant AB' e même sens que lui ; puis la résultante OC de OB' et de OC en menant B'C égal et parallèle à OC et de même sens que lui ; et ainsi de suite. Ces constractions sont identiques à celles qui donnent la somme géométrique des vecteurs OA, OB, OC, OD ; d'oi!i résulte la proposition.
70. Reharoue. — Larègledecompositiondé plusieurs forces fournie par le théorème précédent porte le nom de règle du polygone des forces.
71. Corollaires, ^ La résultante étant uuiqno, est indépendante de l'ordre de composition ; donc pour obtenir la somme géométrique de plusieurs vecteurs, on peut intenertir à volonté l'ordre des opérations.
On voit de même qu'wHe somme géométrique de vecteurs ne change pas quand on remplace deux ou plusieurs vecteurs par leur somme géométrique, ou inversement.
