CHAPITRE III ^a
gonale du parallélépipède construit sur ces trois forces. De là le nom de parallélépipède des forces.
73. Dëcoiaposillon d'une force en trois autres dirigées siii' vaut les arêtes d'an trièdre. — Cela revient à construire un parallélépipède connaissant la diagonale et les directions des arêtes. En se reportant à la ligure précédente, on voit sans difficulté que les composantes cherchées sont respectivement égales aux projections de la diagonale sur chacune des arêtes, parallèlement au plan des deux autres,
74. Application de cette dâcomposltion à la d été i-mi nation de la résultante. — Nous venons "de ^■oir qu'une force quelconque, F, peut être décomposée en trois autres, dirigées suivant les arêtes d'un trièdre ayant pour sommet le point d'application. Inversement, connaissant ces trois composantes, on en déduit la force F en appliquant la règle du parallélépipède des forces.
Considérons alors des forces en nombre quelconque, Fj, Fs, . . . , F,„ appliquées en un même point 0. Menons par ce point trois droites quelconques formant un trièdre, et décomposons chaque force, d'après la règle du parallélépipède des forces, en trois autres dirigées respectivement suivant les arêtes de ce trièdre. Toutes celles de ces forces dont la ligne d'action est Ox ont une résultante X ayant la même ligne d'action ; celles dont la ligne d'action est 0'/ ont une résultante Y :
ot enfin celles dont la ligne d'action est Oa ont une résultante Z.
La résultante du système de forces considérées est la même que celle des trois forces X, Y, Z et s'obtient d'après la régie du parallélépipède des forces.
Sur chacune des arêtes du trièdre, fixons un sens poSitif et un sens négatif, et convenons d'affecter du signe -H les intensités des forces dont le sens est le sens positif de leur ligne
d'action, du signe — les intensités des autres. Si l'on appelle alors Xj, Yf, Z( les composantes de la force Fi, X, Y, Z, comme plus haut, celles de la résultante, on a (40)
X = X, + XjH hX„ = SX;,
Y= Y,-t-Yi+----H Y„==i;Yi,
Z = Z,--[-ZîH h Z„ = SZ,-.
Lorsque les forces Fi, Fî, . . . , F„ sont dans le même plan, on peut prendre les axes Ox et Oy dans ce plan ; alors toutes les composantes suivant Os sont nulles, et les formules précédentes deviennent X ^= SX;, Y = 2Y;.
Quant à la composante 2, elle est nulle et la résultante du système s'obtient en composant X et Y, d'après la règle du parallélogramme des forces.
73 . Projections de la résultante sur un axe. — Ces diverses relations peuvent être obtenues beaucoup plus rapidement par l'emploi du théorème suivant :
La projection sur un axe quelconque, parallèlement à un plan
quelconque, de la résultante d'un système de forces appliquées
au même 2yoinl est égale à la somme
algébrique des 2:irûjections des cowr-
posanles.
Considérons en effet un système de forces Fi, Fa, . . . , F^, appliquées au même point 0, et construisons leur résultante R, d'après "' la règle du polygone des forces ;
puis imaginons que l'on projette le contour OFiRaRjRjR et sa résultante OR sur un axe quelconque et dans un système de projections quelconque.
On a vu [17, 3") que
pr. OR = pr, OF, + pr. F,R2+-- + pr. R^R ; mais on a pr. OF, = pr. F,,
pr. F,R> = pr, P^,
donc pr. OR — pr. Fi-i-pr. F^h h pr, F^.
