CHAPITRE III

Cela posé, nous avons vu (73) que si l'on décompose une force suivant les arêtes d'un trièdre, l'une quelconque des composantes est la projection de la force sur l'arête correspondante, parallÈlement au plan des deux autres arêtes. Si donc on appelle R la résultante d'un système de forces F„ Fa, . . . , F,,, et si l'on conserve les notations du numéro pré- 1 projetant sur l'axe ic'a;, X = pr, R, X, = pr. F; ;

et l'on aurait des expressions analogues en projetant sur les deux autres axes , j/'y et s'a.

I! en résulte, en appliquant le théorème que nous venons de démontrer,

X = SX,-, Y - SY„

Z = SZ;.

Ces formules se réduisent d'ailleurs aux deux premières quand toutes les forces sont situées dans le même plan et que l'on projette sur deux axes situés dans ce plan. On retrouve ainsi les résultats du numéro précédent.

76. Détermination analytique de la résultante. — Proposons-nous, d'après cela, de calculer les éléments qui déftnissenl la résultante R d'un système de forces F,, Fj, . . . , F„, appliquées au même point 0. A cet effet, imaginons que l'on ait mené par le point trois axes formant un trièdre trirectangle, et fixons un sens positif et un sens négatif sur chacun d'eux. Appelons X, Y, Z les projec- A tions orthogonales de la résultante sur

ces trois axes respectifs, a, p, f les angles qu'elle fait respectivement avec Oa;, Oy et Os. Appelons enfin X,-, Y;, Z;, «;, pj, y; les éléments analogues à

X, Y, Z, a, p, Y, relatifs ii l'une quelconque des forces, à la force F; par exemple. On a évidemment (73)

X; = F; COS Ki,

X = R COS a, et des expressions analogues pour Y; et Z; d'une part, Y et Z de l'autre. On en conchrt, en vertu du théorème démontré plus haut (7S},

X = SXi ^ SFi COS =;,,

Y = SYi ^ 2F, COS p;, Z = S2; = SF.- COS 11.

Les composantes X, Y, Z de la résultante étant ainsi définies, des relations

X = R COS a, Y = R COS p, Z = R cos v,

on déduit successivement

.1 cos.=:^, cosp = |. <^os, = |.

Ces formules définissent l'intensité de la résultante et les angles qu'eRe fait avec les axes. On peut en réduire le nombre quand les forces sont situées dans le même plan ; il suflît de supposer pour cela que les deux axes Ox et Oi/ soient situés dans ce plan. En remarquant alors que Pi = „ — '/^ qne

p = ^ — ^ cl enfin que Z = Zf — 0, on obtient

X = SF; COS Ki,

sm a = 7; 1