ÉQUILIBRE D'DN POINT MATÉRIEL

77. Point maléviel libre ou gôné. — On dit ciu'un iioiiit matériel est libre quand il peut se déplacer dans toutes les directions de l'espace ; on dit qu'il est r/êné dans ie cas contraire. Un point matériel assujetti à rester sur une ligne ou sur une surface est un point gêné.

Quand un point matériel est assujetti à rester sur une ligne ou sur une surface, on admet qu'il exerce une certaine action et qu'il éprouve, de la part de la ligne ou de la surface, une réaction égale et opposée. C'est en cela que consiste le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, énoncé par Newton. Si le déplacement du point sur la ligne ou sur la surface peut s'effectuer sans frottement, on admet que l'action et la réaction sont normales, soit à la ligne, soit âlasurface, suivant les cas; de sorte qu'on peut faire abstraction, soit de la ligne, soit de la surface, et considérer le point comme libre, à condition de lui appliquer une force N convenablement choisie et égale h la réaction normale. La force égale et opposée à N est lapression du point sur la ligne ou sur la surface.

Pour trouver les conditions d'équilibre d'un point matériel, nous aurons donc trois cas à examiner, suivant que le point est libre, assujetti à rester sur une surface, ou assujetti à rester sur une ligne.

78. Équilibre d'un point malëriel libre, — Pour qu'un point matériel libre soit en équilibre, il faut évidemment et il suffît que la résultante de toutes les forces qui agissent sur ce point soit nulle. Si donc on compose toutes ces forces d'après la régie du polygone des forces, pour que le point soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone des forces soit fermé.

Quant aux expressions analytiques de cette condition, elles

résultent des propositions suivantes, dont on trouvera l<i démonstration dans tous les cours de trigonométrie :

1" Pour qu'une ligne polygonale gauche soit fermée, il faut et il suffit que les projections de cette ligne sur les arêtes d'un triêdre soient nulles ;

2° Pour qu'une ligne polygonale plane soit fermée, il faut et il suffit que ses projections sur deux axes quelconques menés dans son plan et qui se coupent, soient nulles.

D'après cela, supposons d'abord que les forces Fi, F|, ..., F„ appliquées au point matériel soient situées d'une manière quelconque dans l'espace, et projetons sur trois axes x'x, y'y, z'z, rectangulaires ou non, mais formant un trièdre. En appelant Xj, Y,-, 2i les projections respectives de la force F;, les conditions d'équilibre seront

SX; = 0, SYi = 0, SZj^O.

Supposons en second lieu que les forces soient dans le môme plan et projetons sur deux axes Ox et 0»/ de ce plan. En conservant les mêmes notations, nous n'aurons plus que deux conditions d'équilibre

SX,- = el SY, = 0.