Équllibi^ d'un point matériel placé sur une ligne. — On

voit, comme pour les surfaces, que la résultante des forces qui agissent sur le point doit être nonnale à la ligne, c'est-à-dire perpendiculaire à la tangente. La valeur de cette résultante est encore la pression du point sur la ligne, et la réaction ou résistance de la ligne lui est égale et opposée.

Pour exprimer analytiquement qu'il y a équilibre, on peut, comme pour les surfaces, opérer de deux manières : Ou bien projeter sur la tangente les forces qui agissent sur le point et exprimer que la somme algébrique des projections est nulle, ce qui définit la position d'équilibre ; puis projeter sur deux axes menés par le point dans le plan normal, ce qui définit la pression et par suite la réaction. Ou bien traiter le point comme un point matériel libre, enlui appliquant une force N égale à

]a réaction, et dont la grandeur ainsi que la direction sont déterminées ultérieurement par les équations d'équilibre. Nous allons donner une application.

Si. Application à du exemple ; équilibre stable ou instable.

— Un point matériel pesant, de poids p, est assujetti à rester sur un cercle vertical OA et est repoussé par le point A proportionnellement à la distance ; trouver les positions d'équilibre.

Soit M une position d'équilibre. Prenons comme inconnue l'angle A'OM = x, compté positivement dans le sens de A' vers M, et prenons comme sens positif sur la tangente en M le sens des arcs positifs. Le point M est soumis à l'action de trois forces : son poids p, dirigé suivant la verticale ; la répulsion du point A, dirigée suivant AM et que nous représenterons par [i..\M ; el enfin la réaction du cercle, dirigée vers le centre. Nous obtiendrons la condition de l'équilibre, c'est-à-dire par suite la position d'équilibre en écrivant que la somme algébrique des projections de ces trois forces sur la tangente en M est nulle. Si l'on appelle F cette somme, comptée positivement dans le sens des arcs positifs, on obtient facilement

(i) F =:: p cos X — (aR sin X,

Il désignant le rayon du cercle. La position d'équilibre sera donc définie par l'équation

p cos X — i^R sin a; ~ 0, d"où l'on tire tg x = -^-

II y a deux valeurs de x comprises entre et Stt satisfaisant à cette équation, et si l'on appelle a la plus petite, comprise entre et -, l'autre est r.-\-i; il en résulte qu'il y a

CHAPITHU IV 47

deux positions d'équilibre M et j\r diamétralement opposées. Supposons que le point matériel soit abandonné à lui-même en n'importe quel point du cercle ; la force tangentielle qui produit le mouvement est donnée par l'équation (1) et peut être exprimée par l'une quelconque des égalités

(2) F = [iR cos 3:{tg a — tg x],

(3) F = ^îl cos 4tg (it + a) — tg x] .

Supposons alors en premier lieu que le point matériel soit très voisin du point M, c'esf^ïi-dire que a soit très voisin de a ; l'équation (2) montre que si x est inférieur à a, F est positive, tandis que si x est supérieur à a, F est négative. Il en résulte que si l'on écarte le point matériel de sa position d'équilibre M, correspondant à l'angle a, la force F tend à l'y ramener. Pour cette raison on dit que M est une position d'i':quilibre stable.

Supposons en second lieu que œ soit très voisin de t:-\-u, c'est-à-dire que l'on écarte le point matériel de sa position d'équilibre M' correspondant h l'angle m-i-a. Comme le premier facteur de l'équation (3) est alors négatif, on voit que la force F est positive ou négative suivant que x est supérieur ou inférieur à n 4- n ; il en résulte que dans ce cas la force F tend à éloigner le point de sa position d'équilibre quand on l'en écarte légèrement ; on dit alors que M' estime position (^équilibre instable.

Il nous reste à calculer la réaction du cercle ou, ce qui revient au même, la pression du point sur !e cercle, pression qui est égale et contraire à la réaction. Calculons la réaction N comptée positivement vers le centre du cercle. Pour cela, projetons les trois forces N, p et ^.AM sur le rayon MO ; il vient, en exprimant que la somme algébrique des projections est nulle,

N ~p sin X ~ 2,LiR cos^ | = 0.

équation dans laquelle x est dcfuii par la relation trouvée

48 STATIQKE

^ilus imul :

On en conclul, successivement

>" = p sin X -+- 2(iR cos^ -

et H = i<R it v'pM^Vft^i

le signe h- convenant au point M et le signe — au point 1