CHAPITRE V

COMPOSITION D'UN SYSTÈME DE FORCES PAR4LLÈLES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE; CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

83. ComposUiou âe deux forces parallèles et de même sens. — Théopème. — La résultante de deux forces parallèles et de même sens, appliquées en deux points A e( B d'un corps solide, est une force parallèle et de même sens qu'elles, égale â leur somme, et son jJoint d'application C, situéentre AeiB, partaf/e la ligne AB dans le rapport inverse des forces.

Soient P et Q les deux forces et soit C le iioint de AB, situé entre A et B, et te! que l'on ait AC ^ Q CB l' ' ou, Cû qui revient au miMne, (1) ACXP-^CBXQ.

Supposons 1(! point G invariablement lié aux deux points p, A et B, puis appliquons en ce point les

forées P' et Q' respectivement égales et de ,Q sens contraires ii P et à Q. Ces deux for-

-^ ces ont une résultante égale à F+Q' /(;•-. ^ ~| ou à P + Q et de sens contraire à P et ^■"-i à Q ; le théorème sera démontré si l'on ^ prouve qu'elles font équilibre à P et à Q.

Or, les deux forces P et P' définissent un couple dont 1g moment est égal à l'aire du parallélogramme PCP'A, c'est-à-dire au double de l'aire du triangle PAC ; de même Q et Q' définissent un couple dont le moment est égal au double de l'aire du triangle QBC. Tout revient évidemment à prouver que ces deux couples se font équilibre ; mais ils sont de sens contraires, donc tout revient à prouver que leurs

moments sont égaux, c'est-à-dire que les triangles QBC et PAG sont équivalents. Mais les angles A et B de ces triangles étant supplémentaires, on sait que l'on a aire PAG AC X AP A€ X P aire QBG ~ BG X BQ ^ BC X Q' Or, le dernier rapport estégal à l'unité en vertu de l'égalité(l) ; donc les deux triangles sont équivalents, et le théorème est démontré ,

8i. Corollaire. — Si R. est la résultante des deux forces P et Q, chacune des trois forces P, Q, R est proportionnelle à la distance des points d'application des deux autres.

De l'égalité (I) on tire en effet

- RC = AB,

85. Décomposition d'une iorce en deux auti-es paralLèles et de même sens. — Les formules (2) permettent de décomposer une force R en deux autres parallèles et de même sens. Supposons en particulier que l'on veuille décomposer la force R, appliquée en C, en deux autres dont l'une, P, soit connue, ainsi que son point d'application A. On a alors

Q = R— P, et les deux [irevnierH rapports (2) donnent

égalité qui définit la posiLion du point d'applicalion B do la force Q.

86. Coinposilion de deux forces parallèles et de sens contraires. — Théorème. — La risultunle de deux forces parallèles et de sens contraires, appliquées en deux points A e( B d'un corps solide, est une force parallèle aux deux premières, égale à

BC

AG