CHAPITRE V

Il suit évidemment de là que la construction du centre d'un système de forces parallèles est identique à la construction du centre des distances proportionnelles du système de points Al, A,, ... , Am, affectés des coeffîcienls respectifs

On en conclut :

1° Qxie le centre des forclos parallèles ne change pas quand on fait pivoter toutes les forces autour de leurs points d'application, de manière à les maintenir parallèles el à conserver leurs sens respectifs et leurs grandeurs ;

2" Que le centre des foj'ces parallèles ne change j'as non plus quand on fait varier toutes les forces de manière que leurs rapports TMttuels demeurent constants, d'est'à-dire quand on multiplie ou que l'on divise les intensités de toutes les forces par le même nombre .

La première de ces deux propositions est évidente, et quant à la deuxième, elle résulte de ce que les points B,, B,, ... ne changent pas si, au lieu des forces f,, fi, ... , f,„, on avait à composer X/l, If^, ... , \f,„, 1 désignant un nombre quelconque .

91. Détermination analytique de ]a résultante. — La considération du centre des forces parallèles comme centre des distances proportionnelles d'un système de points va nous permettre d'effectuer simplement la détermination analytique de la résultante de ces forces. Rapportons en effet le système à trois axes de coordonnées rectangulaires ou non et appelons Xi, iji, Zj les coordonnées du point d'application de la force f, X, y, z celles du point d'application de la résultante, en supposant, bien entendu, qu'il y en ait une. On a alors, en vertu des formules établies numéro 3,

(4) :,„HfL; ,j^mi, ,^!a.

Biscussion . — Pour discuter ces formules et pour en déduire les conditions d'équilibre, il est indispensable de séparer les forces on deux groupes : les forces dirigées dans le sens

adopté comme sens positif, et les autres. Nous appellerons les premières les forcesposiiîOTs, elles autres les forces négatives. Soient Fi, Fs, . . . , F^ les forces positives ; a,, h^ c^ ; Oi. Èj, Cs etc. les coordonnées de leurs points d'application respectifs. Soient de même F',, Fj, ..., f;, les forces négatives ; a'i, 61, e'i, a., 63, c^, etc. les coordonnées de leurs points d'application respectifs. La résultante F des forces positives est égale à Fi + Fj -i- . . . -h F,„ et les coordonnées a, h, c de son point d'application A sont données par les formules

Pareillement, la résultante F des forces négatives est égale à

FI -H F3 H -I- ¥'„, et les coordonnées a', b\ c' de son point

d'application A' sont données par les formules

On a d'ailleurs i

dentiquement

, 2/;i, = ïF.«. + si;;«„

j x/;j, = sf.*.+xf;*;,

On a enfin

( s/;j, = ïf.c.+sf;c',.

Cela posé :

i" Cas. — Si F-(-F':?iO, il y a une résultante unique égale à F -S- F' et dont le point d'application, centre des forces parallèles, est défini soit par les formules (4), soit par les formules

aF-(-«'F' __ /.F + !/¥' cF -}- cT'

qui expriment que ce point est le point d'application de la résultante des forces F et F'.

2" Cas. — Si F4-F' = 0, le cas se subdivise en trois autres :

1° Si les points A et A' coïncident, le système est en équi-

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libre asiatique (89), et les conditions pour qu'on ait ce genre d'équilibre sont, avec F + F' =: 0, a = a', b = b\ c = t'. Si l'on remplace a, b, c, a', b', c' par leurs valeurs (5) et (6) et si l'on tient compte à la fois de F — — F et des identités (7), il vient, pour les conditions analytiques de l'équilibre asiatique,

2" Si les points A et A' sont distincts et que la droite AA' soit la ligne d'action des forces F et F', le système est en équilibre statique (89). Cherchons les conditions pour qu'on ait ce genre d'équilibre. Pour cela, appelons p, q, r les paramètres directeurs de la direction commune des forces et exprimons que cette direction est parallèle à AA', qui a pour paramètres directeurs a — a', b — b', c — c' ; nous obtenons ainsi, poiir les conditions cherchées, a — a' b — V c — t^ p ~ q ~ r ' auxquelles il faut, bien entendu, joindre F-(-F'=0. En remplaçant a, b, c, a\ b\ c' par leurs valeurs (5) et (C), puis eu tenant compte de F' = — F et des identités (7), on obtient finalement les conditions

Le nombre des conditions, qui était égal à quatre d^ms le cas précédent, se réduit maintenant à trois, qui deviennent

S/; = 0, Sf0i = 0, S/;-;/; = 0,

lorsque les forces sont parallèles à 0: ; car alors on a

et, par suite, les numérateurs correspondants sont nuls.

3° Si enfin les points A et A' sont distincts et si de plus AA' n'est pas la ligne d'action des deux forces égales et opposées F et F', on a un couple.

En résumé, si l'on a 'Zfi ^ 0, on a une résultante unique ;

Si Von a S/i — 0, les forces se réduisent à un couple ;

Si Von a les équations (9), il y a équilibre statique ; Et si l'on a les équations (8), Hy a équilibre astatiqn/;.

92. Remabûce. — Comme on le voit, il faut plus de conditioris pour réaliser l'équilibre asiatique que pour réaliser l'équilibre statique ; si donc un système de forces parallèles est en équilibre, cet équilibre est généralement statique.

93. Moments des forces parallèles par rapport à «n plan. — Considérons un plan P, une droite indéfinie zz' rencontrant le

plan P, et une autre droite indéfinie quelconque ti'. Sur chacune de ces droites, fixons un sens positif et un sens négatif ; soit Os le sens positif sur la première et soit Oit le .sens positif sur la seconde.

Appelons F l'intensité positive ou négative d'une force parallèle à tt', et ; la cote A'A, positive on négative, de son point d'application, A; cette cote, prise par rapport au plan P, parallèlement k zz', est d'ailleurs, par convention, positive si le sens de A' vers A est le même que le sens de vers z, négative dans le cas contraire.

On appelle moment de la force F par rapport au plan P el parallèlement à z's, le produit Fs de l'intensité par la cote : ce produit, en vertu de la définition même, est un nombre positif ou négatif dont le signe résulte du signe de chacun des facteurs F et z.

94. Théorème. — Le moment, par rapport à un plan et parallèlement à une direction quelconque, de la résultante d'un système de forces parallèles est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

Considérons en effet un système Fi, Fj, ... , F^ de forces parallèles à la direction tl', et supposons que l'on prenne les moments rapport au plan P, parallèlement à la direction z'z