CHAPITRE IX iy

129. Théorème. — ■ Le centre de gravité d'un prisme (juelconque est au milieu de la ligne qui joint les centres de gravité des bases.

Soit le prisme ABCDEA'B'C'D'E'. Décomposons-le en prismes triangulaires par des plans diagonaux AA'CC, AA'DD', etc., et soient gt, gs, etc. les centres de gravité de ces prismes situés (127) dans le plan moyen Â,B,C,D|E|. Appliquons aux pointa jfi, (/s, etc. des poids proportionnels à ceux des prismes correspondants ; on peut considérer ces prismes comme ayant même hauteur et pour bases respectives les triangles AiBiCi, AiCD, , etc. ; leurs poids sont donc proportionnels aux aires de ces triangles. D'autre part, les points iji, (/j, etc. sont les centres de gravité des mêmes triangles ; il en résulte que le centre de gravité cherché coïncide avec celui du polygone AiB,C|D,E,, c'est-à-dire avec le milieu de la ligne qui joint les centres de gravité des bases (106).

130. Cylindre, —Théorème. — Le centre de gravité d'un cijlindre est au milieu de la ligne qui joint les centres de gravité des bases.

On peut en effet considérer le volume d'un cylindre comme la limite du volume d'un prisme inscrit dont on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la base de manière que chaque côté tende vers zéro.

131. Pyramide. — Théorème. — Le centre de gravité d'un tétraèdre est à V intersection des six plans déterminés par chaque arête et le milieu de Varête opposée.

Soit le tétraèdre ÂBCD ; le plan ABM mené par l'arête AB et par le milieu M de l'arête opposée CD est un plan diamétral pour les cordes parallèles à CD ; le centre de gravité du tétraèdre est donc dans ce plan, et par suite à l'intersection G des six plans déterminés par chaque arête et le milieu de l'arête opposée.

132. Remarqcbs. — 1" Les plans ABG, CDG passent tous deux par le point G et par les milieux. M et N des arêtes AB et CD ; les trois points M, N, G sont donc en ligne droite. Il en résulte que le centre de gravité du tétraèdre est à l'intersection des lignes qui joignent les milieux des arêtes opposées.

2° Le plan ABM passe évidemment par le point a, centre de gravité du triangle BCD ; comme il passe aussi par le point A, on voit que le centre de gravité d'un, tétraèdre est à l'intersection des lignes qui joignent les sommets aux centres de gravité des faces opposées.

133. Corollaire. — Les six plans menés par chaque arête et les miUiiux des arêtes opposées, les troi^ droites qui joignent les milieux des arêtes opposées et les quatre droites joignant les sommets aux centres de gravité des faces opposées, concourent en un même point qui est le centre de gravité du tétraèdre.

134. Théorème. — - Le centre de gravité d'un tétraèdre coïncide avec le centre des moyennes dislances des quatre sommets.

En effet, (e centre des moyennes distances des quatre sommets est sur la droite Aa qui joint le point A au centre des moyennes distances de la base BCD ; il est donc sur les quatre droites joignant les sommets aux centres de gravité des faces opposées ; par suite, il coïncide avec le point G.

13-^. Rejiauques. — 1° 11 suit du thcorcmo précédent que l'on a