APPLICATIONS DES CENTRES DE GRAVITÉ ET THÉORËMES DE GULDIN
141 . Tliéorèmc. — Le centre de gi-avUé de la projection d'une aire -plane A; sur un plan P, coïncide avec la projection, sur le plan P, du centre de gravité de Vaire A.
La proposition est évidente pour un triangle , car si un triangle T se projette suivant un triangle T', le point de rencontre des médianes de T' est la projection du point de rencontre des médianes de T.
Démontrons alors la proposilion pour une aire polygonale A (jui se projette, sur le plan P, suivant une aire A', et dont le plan fait avec le plan P l'angle a. Pour cela, décomposons l'aire A en triangles d'aires t-, et projetés suivant des triangles d'aires i;, de sorte fjue
(1) t'i = iiCOa a; on a d'ailleurs
(2) A' ^^ A cos a.
Considérons un plan quelconque, Q, perpendiculaire au plan P, et prenons les moments par rapport au plan Q parallèlement à une direction perpendiculaire à ce plan. Si l'on appelle Xi la distance au plan Q du centre de gravité du triangle f;, x la distance à ce même plan du centre de gravité de A, on a d'abord
(3) kx = Sfiifi.
Si l'on appelle de même x' la distance au plan Q du centre de gravité de A', et si l'on remarque que les centres de gravité de ï; et de (î sont équidistants du plan Q, puisque la proposi-
CHAPlTRIî X
Lion est admise pour 1g triang;le, on a aussi
(4) AV = ttix,.
Mais si l'on tient compte des égalités (1) et (2), l'équation {^) s'écrit
kaf COS a ^ Sf^a;; COS a = COS i.'S.tiXi,
et devient finalement, après suppression du factear cos a, " {§) Aa/ = YliXi.
En comparant avec (3), il en résulte af =x.
Les centres de gravité de A et de A' sont, d'après cela, à égale distance de iow(^)taiï Q perpendiculaire au plan P ; donc ils sont sur la même perpendiculaire â ce plan, ce qui démontre la proposition pour une aire polygonale.
On rétend ensuite à une aire curviligne quelconque en considérant cette aire curviligne comme la limite d'une aire polygonale inscrite.
1-42. Corollaire. — Les centres de gravité des sections planes d'une surface jirismatique ou cylindrique sont sur une même parallèle aux arêtes.
Car si l'on mène une section droite, tous ces points se projettent au centre de gravité de cette section droite.
Le volume d'un pristne tronqué est égal au produit- de la section droite par la distance des centres de gravité des deux bases.
Considérons d'abord un tronc de prisme triangulaire droit ABCA'B'C, et soient G et G' les centres de gravité respectifs des deux bases. D'après un théorème de géométrie, le volume V de ce corps est donné par la formule
„ A.V -H BB' -H ce î? =- ABC X 3
Mais le point G' étant le centre des moyennes dislances des
•li:). Tliéoi-èr
trois points A', B'etC (H3), sa cote par rapport au plan ABC est la moyenne arithmétique des cotes des points A', &, C : donc on a
