V = ABC X GG
ce qui démontre la proposition pour le tronc de prisme trianp/ gulaire droit.
Considérons maintenant nu tronc dt; prisme droit quelconque de volume v et dont la section droite est ABCDE.
On peut décomposer ce tronc de prisme en troncs de prisme triangulaires droits de volumes v,, v^, . . . et dont les sections droites ABC, ABD, . . .
ont pour surfaces respectives h, «2,...
Soit fi la distance des centres de gravité gi et g'i des deux triangles ABC et A'B'C ; soit de même -fa celle des centres de gravité gî et g^ des deux triangies ABD et A'B'D', et ainsi de
suite. D'après la première partie de la proposition, on a
Or, si nous appelons S la surface du polygone ABCDB et si nous appliquons le théorème des moments aux poids s,, -h, ... appliqués respectivement en gi, g^, . ■ ■ , en prenant les moments par rapport au plan A'B'C'D'E', parallèlement à la direction AA', on a
S X GG' = «,Yi + Î3Ï2 + ■ ■ ■ , G désignant le centre de gravité delà section droite et G' celui du polygone A'B'G'D'E'.
On a donc
i> = S X GG', et la proposition est démontrée pou.
droit quelconque.
un tronc de prisme
CUAPITBE X 87
On rétend alors sans diffîcull^ à un tronc de prisme quelconque en le décomposant en deux troncs de prisme droits.
144. Remarque. — Ce théorème s'étend à un cylindre tronqué, en le considérant comme la limite d'mi prisme tronqué inscrit.
145. Corollaire. — Le volume d'un cylindre tronqué ou d'un prisme tronqué est égal au produit de l'une des bases par la dislance à celle-ci du centre de gravité de l'autre.
La démonstration étant la même pour le prisme tronqué et pour le cylindre tronqué, il suffit de la donner dans Tun de ces deux cas.
Considérons donc un prisme tronqué dont les bases B et B' ont pour centres de gravité les points G et G'. Soit S la surface de la section droite et soit « l'angle du plan de base B avec le plan de section droite. Si l'on mène G'H perpendiculaire au plan de la base supérieure, il est clair que l'angle GG'H est égal à a. 11 en résulte que
G'H = GG' c
et, par suite, que le volume V du tronc de prisme s'obtient (143) par la formule
zBxG'H.
mais on sait que donc
146. Tbéorème. — L'aire engendrée par une ligne plane exécutant une révolution comi^lôte autour d'un axe mené dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit de ta longueur ■ de cette ligne ]}ar la circonférence que décrit son centre de gravité.
Considérons d'abord une ligne polygonale ABCDE tournant
autour de Vaxex'x
des cotés sui^ 1
L'aire engendrée est évidemment la somme des aires engendrées par les côtés AB, BC, ... de cette ligne ; nous pouvons donc écrire, en appelant A l'aire engendrée,
A = surf. AB -1- surf. BC +
Or, si l'on mène les perpendiculaires II', HH', . . . des milieux s, on a
surf. AB ^ 2TTir X AB,
surf. BC = 2TrllH' X BG,
On en déduit
A -2t:(I1'XAB + HH'XBC+ ...).
D'autre part, soient G le centre de gravité de la ligne polygonale, L la longueur de cette ligne et GG' la perpendiculaire menée du point G sur l'axe. En prenant les moments parallèlement à GG', par rapport à un plan quelconque passant par l'axe, on a
L X GG' = 11' X AB -j- Hir X BC +
Il en résulte
A = 2t:GG' X L, ce qui démontre la proposition pour une ligne polygonale. On l'étend ensuite à une ligne plane quelconque en la considérant comme la limite d'une ligne polygonale inscrite.
147. Remarque. — Si, au lieu de faire une révolution complète, la ligne ne tourne que d'un angle a, Faire engendrée a pour expression
148, Théorème. — Le volume engendré par une aire plane exécutant une révolution complète autour d'un axe situé dans son plan et ne la traversant pas, est égal au produit de cette aire par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Soit S l'aire plane que nous supposerons décomposée en
rectangles trts petits par des droites parallèles et perpendiculaires à l'axe de révolution x'x; soit ABA.'B' Tun quelconque de ces rectangles ayant pour centre le point g. Le volume V, engendré par Taire, est t5videmment la somme des volumes engendrés par les rectangles analogues à ABA'B'. Or, le volume engendré parce rectangle 1 pour expression TtA.!j(A'« — Aa ), c'est-à-dire
icAB(A'tt — AaXA'a + An} = t>AB X AA'(A'(7 -i- Aa). Mais Aa -f- A'a — lijg' ; donc l'expression du volume engendré par le rectangle ABA'B' est
2TrAB X AA' X 'JO',
et l'on a V = 2- ^ AB X AA' X uo'-
Mais on peut considérer AB X AA' X !!g' comme le moment, parallèlement à cjg' et par rapport à un plan quelconque passant par Taxe, du poids du rectangle ABA'B' supposé appliqué au point g. Si donc on appelle Y la distance à l'axe du ccnlre de gravité de l'aire, S la mesure dn cette aire, on a
^ABX AA'X3<?' = S.Y, et, par suite, V =: SttY.S,
ce qui démontre la proposition.
149. Remarque I. — Si la figure tourne seulement de l'angle », on a
