OM " UM
Appelons alors a, b
c les c
ordonnée
du point M, a', b', c'
celles du
point M'
En projetant d'aiord
sur Oa:
parallèle
ment au plan !/0;, on
OH
on aurait de même
a' b' a' X directions soient parallèles, il faut que levn paramètres directeurs soient projiortionnels.
Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes, car, si on les suppose remplies et si l'on appelle /t la valeur commune des trois rapports, le point Ml delà droite OM' délini par l'égalité -rrr — ha pour coordonnées, d'après le calcul précédent, ka', kb', kc', et, par suite, coïncide avec le point M. Les points directeurs de deux directions étant en ligne droite avec l'origine, les deux directions sont paral-
10. Kelalions entre les coordonnées d'un point quelconque d'une llflne dvoite (axes quelconques). ~ Considérons une droite indéfinie ((' et fixons sur cette droite un sens de parcours, de manière à déterminer une direction; menons par l'origine la demidroite Od parallèle à cette direcUon, appelons a, b, c ses paramètres directeurs, M le point de cette demi-droite dont les coordonnées sont a, b, c, c'est-à-dire le point directeur; prenons enfin sur la droite tl' un point Aq, de coordonnées Xo, Va H- Quand on se donne iCo, !/„, % et a, b, c, il est clair que l'on définit non seulement la position de la droite tt', mais encore le sens adopté comme sens positif de parcours sur cette droite. Proposonsnous alors, au moyen de ces données, 3nt les coordonnées ic, y, s d'un
NOTIONS DE GÉOMÉTK
TROIS BIJIENSIONS
point quelconque, A, de u' . Pour cela, observons d'abord que la position de A sur ((' est complètement définie par le segment algébrique A,)A, que nous désignerons par la lettre p et que nous prendrons comme inconnue auxiliaire; prenons ensuite sur la demidroite Oli, le point M tel que OM = 1 et sur la demi-droite A(it le point Ai tel que A(,Ai = 1.
En projetant sur n'importe quel axe, on a évidemment pr. A, A AqA pr. AoAi ~ AqAi pr- OM OM , pr. OM, ~ OM, ' d'où il résulte, en divisant membre à membre et en remarquant que OM, = AoAi = I,
pr. AqA AjA pr. OM ~ OM ' Mais on a posé A(,A' — p ; si donc on désigne par l la distance OM, il vient
pr. AqA p pr. OM ~ l ' Projetons alors successivement sur chacun des [rois axes, parallèlement au plan des deux autres, et nous aurons : sur l'axe des œ
car pr. A^A ^ îe — a:^ et x pareillement sur l'axe des y.
Pour avoir les relations cherchées, il ne nous reste plus miner -Ç- entre ces trois équations, ce qui donne
Réciproqi en ent tout \ o t dont les coordonnées m', y', z' satisfont à ces équat ons est un po t de la droite (('. Appelons en effet
la valeur co mune des rapports (t) quand y, s respect ve ent par <e j ; on aura
Prenons sur la droite U' le j
l-ei que segment algébri
