CHAPITRE XI

sott en Équilibre, il faut et il suffit que la résultante générale soit nulle, ainsi que le couple résultant relatif à un point quelconque du corps.

La condition est évidemment suffisante. Montrons donc

qu'elle est nécessaire. Supposons, pour cela, que le système

soit en équilibre et faisons la réduction pour

~fR' un point quelconque, 0, du corps ; soient R

et G !a résultante générale et l'axe du couple

*V--„,__^^ résultant. Puisqu'il y avait équilibre avant

/ ^~~^ la réduction, il y aura encore équilibre après,

j^ de sorte que la force R et le couple G,

c'est-à-dire le couple dont Taxe est G, se

l'ont équilibre. Or, je dis que cela est impossible si R et G ne

sont pas nuls tous deux. En effet :

1* S'il y avait équilibre avec R.G^irO, la force R' égale et opposée à R, faisant équilibre à R, comme G, pourrait remplacer G ; donc nous aurions un couple ayant une résultante, ce qui est impossible ;

2° Il est évident que si on a seulement R = 0, il ne peut y avoir équilibre, parce qu'un couple n'est pas en équilibre ;

3° Enfin, il est non moins évident qu'il ne peut y avoir équilibre avec G seul égal à zéro.

Donc, pour qu'il y ait équilibre, il faut que R et G soient nuls tous deux.

U est bon de remarquer que la condition est nécessaire pour tous les points du corps et qu'elle suffit pour un seul, car alors elle est forcément remplie pour tous.

■16b . Étitiivalence de deux systèmes. — Le théorème du numéro 162 permet aussi d'énoncer les conditions géométriques d'équivalence de deux systèmes de forces ; elles sont fournies par la proposition suivante :

Pour que deux systèmes de forces soient équivalents, il faut et il suffît qu'il existe un point du corps pour lequel la réduction à une force et à un coupile donne la même force et U même couple dans les deux cas.

C'est évidemment suffisant, parce que deux systèmes équivalents à un troisième sont équivalents entre eux ; il reste fi prouver que c'est nécessaire. Soient donc S et Si deux systèmes équivalents. Faisons la réduction pour un point 0, d'abord pour' les forces du système S, puis pour celles du système S]. Soient R et G la résultante générale et le couple résultant du premier système, R, et Gi la résultante générale et le couple résultant du second. La force R et le couple G définissent un système équivalent à celui qui est défini par R, et par G]. Or, on peut faire équilibre à la force R e! au couple G au moyen de la force — R appliquée en et du couple — G, dont les définitions sont évidentes. Dès lors — R et — G font aussi équilibre au système défini par la force Ri et le couple Gi. Mais on perrt composer d'une part R, et — R, ce qui donne une force R' ; d'autre part G, et — G, ce qui donne un nouveau couple G*. Cette force et ce couple doivent être en équilibre, ce qui exige (164) qu'on ait simultanément R' = et G' = 0. Or, on ne peut avoir R' = que si R, et — R sont égales et opposées, c'est-àdire si R, est identique à R ; pareillement on ne peut avoir (j'=0 que si d et — G sontégauxet opposés, c'est-à-dire si Gi est identique à G.

Comme précédemment, la condition est nécessaire pour tous les points et suffisante pour un seul.

166. Coroil&ive. — Quand on fait la réduction pour un ntâi)W point, on trouve toujours la même résultante générale et le mètw. couple résultant^ de quelque manière que l'on fasse la réduction.

167, Réduction à une force.— Théorème.- Pour qu'on puisse réduire à vue seule toutes les forces appliquées à un corps solide, il est nécessaire et suffisant que l'axe du couple résultant relatif à un point quelconque soit nul, ou perpendiculaire à la r-isul'anle générale.

CHAl'ITKË XI 101

C'est suffisajit, en vertu du théorème du numéro 161 ; prouvons donc que cela est nécessaire. Supposons, pour cela, qu'en faisant la réduction pour un point convenablement clioisi, on obtienne une force R et pas de couple ; de sorte que R est équivalente au système de forces Q' appliquées au corps. En vertu de la proposition

/ du numéro 166, si on fait la rédaction pour un Z, autre point quelconque, ff, on obtient la même

/ force et le même couple qu'en transportant R

de en 0', parce que R constitue, à elle seule, un système équivalent au système proposé, La proposition résulte alors de ce que, si l'on transporte R de en 0*, le couple de translation qui en résulte a son axe perpendiculaire au plan O'OR (1S9) et par suite à R. Le raisonnement suppose R?iO.

108. Corollaires. ~ 1" Il est évident que si loulcs Ic^ forces appliquées à un corps solide concourent au même point, elles se réduisent à une seule.

2" Quand toutes les forces sont dans le même plan P, en prenant un point de ce plan comme centre de réduction, on voit que les axes de tous les couples de translation sont perpendiculaires au plan P, et il en est évidemment de même de l'axe du couple résultant.

La résultante générale étant aussi située dans le plan P, toutes les forces considérées se réduisent à une, en vertu du théorème précédent, si la résultante générale n'est pas nulle. Elles se réduisent à un couple si la résultante générale est nulle.

3° Quand toutes les forces sont parallèles à une même droite D, si l'on prend comme centre de réduction un point quelconque de l'espace, les axes de tous les couples de translation sont situés dans le plan mené par 0, perpendiculairement à D ; il en est de même de l'axe du couple résultant ; ■par conséquent l'axe du couple résultant est perpendiculaire à la résultante générale et, si la résultante générale n'est pas

nulle, le système se réduit encore à une force ; il se réduit à un couple si la résultante générale est nulle. Nous démontrons ainsi à nouveau que toutes les forces parallèles appliquées à un corps solide peuvent être remplacées par une force unique ou par un couple.

169. Réduction à an couple. — Théorème. — Pour que toutes les forces appliquées à un corps solide se réduisent à un couple, il est nécessaire et sufilsant que la résultante générale pour un point quelconque soit nulle, sans que le couple résultant le soit.

Cette proposition résulte de ce que la résultante générale est constante en grandeur.

170. Rédaction à deux lorces. — Théorème. — Toutes les forces appliquées à un corps solide peuvent être réduites à deux, appliquées l'une en un point A choisi arbitrairement dans le

corps, l'autre en un point choisi arbi- , trairement sur une droite passant par A.

Soient, en effet, R la résultante générale et G l'axe du couple résultant relatif à un point quelconque. A, du corps. On peut donnera la force P du couple représenté par G et par suite au bras de levier du couple, une valeur quelconque ; on peut aussi supposer que l'une des forces du couple soit appliquée en A ; soit P cette force. En composant les forces P et R, la proposition devient alors évidente.

On voit de plus que la force Q est dans un plan fixe mené par le point A.

CIlAlMÏUb; Mi