CHÂIMTKE KV PO0LIE, TREUIL ET PLAN INCLINÉ

21'j, Doseriptioii ili dont lîi hautenv est ti

considérer la partie de

la pimlio. — J^a poulie esl un cyliiulvo s petile par rapport au rayon. La surface du cylindre est creusée d'un sillon ou 'Jiiffja dans laquelle s'engage une corde ; enfin la poulie est mobile autour d'un axe dirigé suivant l'axe du cylindre et s'appuyant par ses extrémités sur une fourchette appelée chape.

L'appareil tout entier est représenté ■e oi-contre par doux projections : l'une sur un plan perpendiculaire à l'axe ; l'autre sur un plan pussant par l'axe.

Dans la poulie fixe, la chape est suspendue à un point fixe, la puissance et la résistance s'exercent aux extrémités de la corde.

o/iîle, l'une des extrémités de la corde est attachée à un point iixe ; l'autre extrémité passe sur la gorge d'une poulie fixe, et c'est sur celte extrémité que l'on fait agir la puissance; quant à la résislance, elle s'exerce sur la chape do la poulie.

Dans les deux cas nous supposerons l'adhérence de la corde et de la poulie assez forte pour ordo ()ui est en contact avec la

gorge comme faisant partio do la poulie. Cela posé, iioiis allons examiner successivement les conditions d'équilibre de lit poulie iixe et de la poulie iiioliilo.

216. Poulie Ilxo; coniiii.loa tl'équiUlii'e et pi-csslou shi" l'axe. — Nous supposerons la poulie rêûuite à sa section par im plan perpendiculaire à l'axe ol la corde réduite à. un (il. Soient alors A /3^\^ et H les points de langence du iii et

de la poulie et le point de rencontre du s)lan de section avec l'axe. D'après la théorie des cordons (201), on peut supposer que la puissance et la résistance soient appli(iuées respectivement en A et en B. On est ainsi ramené fi écrire la condition d'équilibre d'un corps qui a un axe fixe et qui est soumis il deux forces P et Q, c'est-à-dire h exprimer que la somme algébrique des moments par rapport à l'axe est mille. Connue les deux forces sont à la môme distance de Taxe, on doil avoir P-Q.

La pression sur l'axe esl, la résultante des deux forces 1' et Q. Si on la désigne par la lettre R et si l'on ajipelle "2^ l'angle des deux cordons, en projetant sur la bissectrice de cet angle on a

R — P cos ■/ -h Q cos ï :^ 2P cos K.

On voit en particulier i|ue si a = 0, c'est-à-dire si les cordons sont parallèles, la cliarge de Taxe est égale au double delà résistance.

217. Poulie mobile; condition d'équilibre. —Soit Q !a résistance et soit P la puissance, qui s'exerce intégralement par l'intermédiaire d'une poulie Oxe (216); soit M le point Iixe auquel est attachée l'une des extrémités de la corde. On peut considérer le système formé par la corde et la poulie connue

CLl-M.iTlil.; XY 14!

libie à condition de remplacer la lisilé du point M par une force égale à la tension du cordon ; soit T cette tension. On a ainsi à exprimer l'équilibre d'un corps libre soumis à l'action des Irois forces P, Q et T. Pour que ces trois forces se fassent équilibre, il faut d'abord qu'elles soient dans un môme plan, qui sera nécessairement vertical si la résistance est un fardeau il soûle ver.

Soit le point de rencontre de ce plan avec l'axe do la poulie ; en exprimant que la somme algébrique des moments jiar rapport au point est nulle, on voit que l'on doit avoir aussi T = P. EnJin, la force devant être égale et opposée à la résultante des deux forces P et T, qui sont égales d'après ce que nous venons de voir, il faut que Q soit dirigée suivant la bissectrice de l'anglo des deux cordons, ce qui montre que les deux cordons doivent être également inclinés sur l'horizon. D'ailleurs, on pcul dire que Q est égale et opposée à la pression exercée sur l'axe par les deux forces égales P et. T; de sorte que si Ton appelle 2a l'angle des deux cordons, on peut écrire, en verlu do la condilion d'équilibre de la poulie fixe,

Q = 2P cos a, Q 2 cos c

D'apW'S cela, on voit que, si Ioh cordons sont p:AraUèle>i, -i est nul, cos a est égal & l'unité, et l'on peut faire équilibre à la force Q par une force P qui en esl la moitié.

d'où

218. MouHes et palans. — On i\]ipelle vuinflo un ensemhle de poulies montées sur une rnèiiio chape cl pouvant tourner séparément aulour du iui''iiie axe ou iiulour d'axes dilîérents.

VA STAflQLE

On appelle j)n/aii un système clo deux iiiouIleB dont l'une ,1 fixe et l'aiiirc mobile. Un cordon, fixé h la niouflo fixfi pat mic disposition analogue îi, celle qui est ligurée ui-contre, s'enroule sur la gorgû de la première poulie de la moufle mobile, passe ensuite sm' la gorge de la première poulie de la moufle fixe, puis de là sm- la deuxième poulie de la moufle mobile, cl ainsi de suite. 11 passe une dernière fois sur la gorge d'une poulie appartenant à la moufle fixe, el c'est sur l'extrémitâ libre de ce cordon ([ue l'on fait agir la puissance P. La résistance Q est appliquée à la chape de la moufle mobile,

J Pour simplifier on peut, sans er-

1— I^J rcur sensible, supposer Loiis les coi'-

donsparallèles et verticaux. En ver tu de la théorie de la poulie fixe et de la poulie mobile, la tension en tous les points du cordon esl, égale à P; on peut alors supposer que toutes les poulies do la moufle inférieure sont en équilibre sous l'action de la force 0. Dès loFs si II est le nombre des poulies de la moufle inférieure, on voit que la résistance Q fait équilibre à 'in forées verticales égales il P-, par suite, on a

et l'on pourra vaincre imu résistance donnée avec «nr (iLiissance In fois plus faible.

ïï

519. Doserlpliom du treuU. -.- Le Ircail est un corpy liolidc mobile autour d"un axe fixe. C'est généralement un cylindre appelé arbn: et qui est mohllc autour de son axe M'. La ûxilc de l'axe est olîtenue !m inoven de deux tourillons / et

CHAHÏtili XV lia

reposant sur rloux coussinets c et c'. Sur la circonférence du cylindre s'enroule une corde dont une extrémité ust iixée en un point B de l'arbre, et dont l'ex- Irémité libre porte le fai'deau à soulever ou ri!:iistance à vaincre. Lapuissance s'exerce soit en un point de la circonférence d'un cylindre ayant uiènie axe que l'arbre mais un rayon plus grand, soit ;i l'extrémité d'une manivelle lixéo à l'arbre-. Lorsque l'arbre est vertical, le treuil prend ic nom de cabeslnn.

220. lïijuililïM) (lu treuil. — Supposons que le cenfre di.- gravité de l'appareil se trouve sur l'axe et que !a puissance et la résistance soient tangentes aux doux cylindres; soient d'ailleurs R et'/' les rayons de ceux-ci. Poirr que le système soit en équilibre, il faut et il suflit que la somme algébrique des moments par rapport ii l'axe dos deux cylindres soit iruUe. 11 faut donc d'abord que la puissance et la résistance fassenl tourner le corps dans des sens différents et, ensuite, que l'on ait

PIt = Q>\

en appelant R le rayon du grand cylindre et »■ celui <\\i petit. Le poids des deux cylindres n'intervient pas dans l'équation d'équilibre, parce que leur centre de gravité est supposé sur l'axe. On peut du reste obtenir encore cette équation de bi manière suivante :

Soient A et B les points d'application respectifs de la puissance et de la résistance. Figurons les sections des deux cylindres par les plans perpendiculaires à l'axe menés par les points A et lî, et soient OA et mS les rayons des sections qi\i aboutissent en ces points. La résistance étant verticale, le rayon wB est borizontal ; soit alors OC le rayon horizorUal de

Ii4 STATIQUE

hisecliondi'oitii menée par A. Onnechange rien à l'état du corps en appliquant au point C les deux forces verticales P et — P ; or, ies deux forces P et — P appliquées respectivement en A et en C ont une résiillanle, F, dirigée snivanl, leur bissectrice et qui est, ]Ku'suilc, déiriiite par la résistance de l'axe, puisqu'elle passe par le point . Pour que le système soit en équilibre, il faut alors et il suflît que ia résultante des deux forces parallèles et de même sens P et Q, appliquées respectivement en C et en B, soit appliquée au point do rencontre I do l'axe et d« PC. Ceci exige que l'on ait

mais la similitude des deux triangles It^iB et lOG donne

m OC R '

par suile, on a

et enfin l^.K — Q.<

Nous retrouvons bien ainsi la con pi us hairt.

On en déduit i' =t. Q . -^

I d'éqnililire olitenue

de sorte que si -^ est trÈa petit, la puissance P sera une IVaetion très petite de la résistance.

On peut donc, au moyen du treuil, vaincre une résistance donnée avecune puissance aussi petite que l'on veut, cnprenajit r suiïlsamment petit ou R suffisamment grand. En réalité, dans la pratique )■ et R ne peuvent dépasser certaines limites inférieures ou supérieures, à cause de la solidité de l'appareil.

Pour avoir la char::;»; dos tourillons, on décompose la force P + Q appliquée en 1 en deux autres jh et }h.

ClIAPITilE XV i'tô

appliquées aux deux tourillons ; on décompose du mûme la force F, appliquée au point 0, en deux autres /i et /?, appliquées respectivement aux niî'mes points que /)i et j);. La charge du premier tourillon sei'a la résulla,nte des deux forces piet/i; celle du second sera de même la lesultinte de /jj et de /'j,

221. Treuil diKérenliel. — Comme toute- L •- machines que Dous avons décrites jusqu'ici, le lieud diffeienticl a pour objet de vaincre une résistance donnée avec une puissance qui ne soit qu'une faible fraction de la résistance. Il se compose do deux cylindres de rayons différents mais (le même axe.

Une môme corde s'enrouSe &\iv les deux cylindres, mais en sens inverse, de telle sorte que lorsqu'elle s'onroirle sur l'un, elle se déroule de l'autre. Cette corde supporte une poulie mobile, à la chape de laquelle on attache le fardeau à soulever, c'est-à-dire ia résistance Q qu'il s'agit de vaincre. Quant à la puissance, elle est appliquée taniientiellement à la circonférence d'une roue do même axe que les premiers cylindres, mais dont le rayon est beaucoup plus grand. Cherchons la condition d'équilibre et, pour cela, remarquons que la poulie étant elle-même en équilibre, la lensioii des cordons qui la supporte est égale à —, en supposant, bien entendu, que ces cordons soient parallèles. Nous avons alors à exprimer qu'il y a équilibre entre les trois forces P, 1" et T perpendiculaires toutes les trois h l'axe des cylindres, T' et T désignant les tensions des deux cordons. Il sullit, pour cela, d'exprimer que la somme algébrique de leurs nioments par rapport à, cet axe est nulle. Or, si l'on appelle R le rayon

AUTOU.UM. — MÉC.IN. Ul

do la roTie à laquelle est appliquée la force P, ;■ le rayon du grand cylindre et !•' le rayon du petit cylindre, les valeurs absolues des moments sont respectivement PR, Tf et Tr\ où d'ailleurs T — 1" — — ■ Lo moment des deux forces T' et P étant de même sens, on en conclut l'équation d'équilibre

•m en déduit P = — - ■■ .

ce qui montre que l'on peut prendre r — /■' assez petit pour que P soit nne fraction aussi petite que l'on veut de la résistance.

222. Treuil Ucs ii;ii-i-iers. — Gomme les treuils ordinaires, le fi-iiuil des ca,rHers se compose d'un arbre auquel ou applique la résistance et d'une roue de très grand rayon ayant même axe que l'arbre et sur laquelle on fait agir la puissance. Cette roue est garnie de chevilles permettant à un homme de se déplacer sur la circonférence de la roue comme sur ime échelle. C'est le poids de l'homme qui remplace la puissance, de sorte que celle-ci est constante en grandeur et direction et que, seul, son point d'application varie.

Pour avoir la condition d'équilibre, projetons la ilgure sur un plan perpendiculaire à l'axe, et soient alors A et H les points d'application de la puissance et do la résistance. Soient aussi r le rayon do l'arbre, R celui de la roue et a l'angle du rayon OÂ avec l'hori/on.

^ En exprimant que la somme algébri-

que do*moments par rapport à l'axe est nulle, on trouve sans difficulté l'équation d'équilibre :

Q/' = P.Roosa.

Cette équation défunt l'angle a, ol on en lire

yGoosle

■iiU'O (|iie le problème ii'csl possiblu quu s Qy < PR,

On a ainsi la limite de la cliai-ge f|ui peut être vaincue p;i£ ane puissance donnée P.

223, Plan incliné. - Le plan incliné est une machine simple dont on se sert pour soulever un fardeau avec une puissance inférieures* son poids. Proposons-nous seulement d'étudier les conditions d'équilibre d'un corps de poids P, placé sur impiaii incliné et soumis k l'action d'uno force F de grandeur et de direction données. Il faut et il suffit, pour cela, que les deux forces P et F aient une résultante et que cette résultante tende à appliquer le corps contre le plan ; une première condition est donc que les deux forces l' et F soient concourantes. De plus, comme la force P est verticale et que la résultante doit ôtrenomiale au plan, la force F doit être située dans un plan vertical normal au plan incliné ; par suite, sa projection sur ce plan doit en être une ligne de plus grande pente. Prenons alors le plan vertical des deux forces comme plan du tableau, et soit AB la ligne déplus grande pente située dans ee plan et faisant l'angle a avec Fhoriïon. Soient d'autre part I le point d'application des deux forces F et P, l'angle que la ligne de plus grande pente du plan incliné fait avec F. Projetons les deuN forces F et P sur les deux axes ix et h/. Pour qu'il y ail équilibre il faut et il suffit que la somme des projections sur Le isoit nulle etque la somme des projections sur ïy soit positive. La première condition est exprimée par l'équation

(1) F cos n = P sin ï :

c'est l'équation d'équilibre. La draixième c&t expriuiT'e par l'inégalité

( en adoplant comme sens po- (2) P cos 7. -h V siii >■ 0, j sitif des angles le sens de

[ Ix vers I;/.

Le premier membre de l'inégalité (2) représente précisément la pression exercée par le corps sur le plan incliné : nous l'appellerons U.

De l'équation (1) on tire d'ailleurs