Un point M est placé sur une ellipse dont F et A sont un
M foyer et le souimel correspondant. Ce point
est sollicité par deux forces représentées par la tangente MT et par la normale MN ; trouver la résultante de ces deux forces et déter-
miner le rayon vecleur MF = r par la condition que la résultante passe par le sommet A.
i8. Décomposer une force en dons autres F et F' connaissant leur angle et leur rapport ■^,-
19. Étant donnô un triangle ABC, on prend un point P sur k cercle des neuf points et l'on suppose ce point soumis à trois forces représentées par PA, PB, PC i trouver le lieu de l'extrémité de l:i rÉBullante de ces forces.
20. Un point matériel M est assujetti â rester sur une parabole de foyer F et est soumis à Taction de trois forces : une force verticale P ; une force répulsive émanant du foyer F et égale à k.MF ; enlîn «ne force attractive émanant de la tangente au sommet, perpendiculaire à cette droite et égale à 7^.MI, Ml désignant la perpendiculaire menée du point M sur la tangente au sommet. Déiorminer les positions d'équilihre du point et les pressions exercées sur la courbe quand l'équilibre est établi ; examiner si l'équilibre est stable ou instable.
2i. Trois forces rectangulaires appliquées au même point sont proportionnelles ans nombres 1, 2, 3 ; déterminer les angles que fait la résultante avec chacune d'elles.
22. Trouver la position d'équilibre d'un point matériel attiré par les sommets d'un triangle par des forces constantes, proportionnelles aux côtés opposés.
II, — Forces parailèies et centres de gjravité.
23. Aux sommets B et C des angles éganx d'un triangle isocèle ABC on applique deux forees égales h P, parallèles et de même sens. Exprimer en fonction de P et dei'angle A l'intensité Q de lu force qu'il faut appliquer en A, parallèlement aux deux autres, pour que la résultante des trois forces passe par le point de concours des hauteurs. Pour quelles valeurs de A a-t-on Q = P ?
24. Aux sommets A, D, C, D, K, F d'un hexagone régulier on applique des forces parallèles et de môme sens, égales respectivement à 1, 2, 3, 4, S, 6 ; prouver que le centre de ce systi'^me de forces est sur BE et le déterminer.
25. A, B, C étant les sommets d'un triangle donné, dans quels rapports doivent être des forces parallèles appliquées en ces points
pour que le centre de ces forces coïncide ; i'' avec le point de concours des hauteurs du triangle ; 2" avec le centre du cercle inscrit I 3" avec le centre de l'un des cercles exinscrils.
26. Aux trois sommets d'un triangle ABC dont les angles sent aigus, on applique trois forces parallèles, de même ietis et égales i tg A, tg B, tgC. Trouver le point d'applir ation de leui r^?ul tante et montrer que la grandeur de cette i sultint e t egile i tg A. tgB. tgC.
27, On donne un polygone plan et convexe ARL .. et un point intérieur à ce polygone ; on mène les droites OA, 01!, OC, ... et, aux points A', IV, C, . . , milieux respectifs de OA, OB, OC, ..., on applique des forces parallèles et de même sens msiiectivement proportionnelles à 0\ Olî 0(. tiou\Pi le cputie de tt' système de fones panlltlei
28. Decomposeï une foice donnée F en quatre foice'^ paial lèles appliquées auî quatre sonimet^> d un tttraMre en suppt*ant que le point d -ipplicttion de cotte force ne pin=se pas eiie déjlacé
29. Trouver le centre de graviU'; de cinq ciilés d'izii liesayone lé-
30. Trouver le centre de gravité du périmètre d'un de mi- hexagone
31 . Trouver le centre de gravité du périmètre d'un quadrilalère plan ou gauche.
32. Trouver le cenire de gravité du périmètre d'un tétraèdre.
33. Trouver ie centre de gravité de cinq des triangles formés, dans un hexagone régulier, en joignant chaque sommet au cenire .
34. Étant donné un rectangle ABCD, déterminer un point M qui soit le centre de gravité de la partie restante quand on enlève le triangle MCD. Cas où le rectangle devient un carré.
35. Centre de gravité de l'aire formée par un triangle rectangle et les carrés constioiits sur lescètés.
36. On donne une suite de circonférences dont les centres sont en ligne droite, qui sont tangentes extérieurement et dont les ravons forment une progression géométrique décroissante : centre de gravité du système prolongé indéfiniment.
37. AB et BG sont deus cftlus consécutifs d'un carré ABCD ; on joint les points E et F, milieux de ces côtés, et l'on enlève le triangle EBF ainsi formé : centre de gravité du polygone restant.
38. Dans un triangle équiSatéral ABC dont le côté est a, on enlève un disque de rayon r, et dont le centre se trouve sur la hauteur AH, à une distance d du centre de gravité G du triangle. Trouver le centre de gravité de la partie restante et déterminer r de façon qu'il soit le plus prés possible de la base BG. — Peut-on déteruùiier )■ par la condition que ce centre de gravité soit symétrique du point par rapport au poinf G ?
39. Trouver le centre de gravité d'un triangle équilatéral dont on enlève le carré inscrit.
40. Centre de gravité du segment de cercle qui correspond à l'angle de 60".
41. On donne un iie.\agone l'égnlier ABCDEF, de côté Alî — a, et l'on en détache un triangle AIÎC formé pur trois eûtes consécutifs. Déterminer le centre de gravité G de la surface pentagonale AGDEF.
On joint 3e point G aux cinq points A, G, D, E, F et l'on suppose que ces droites représentent cinq forces appliquées au point <; : trouver leur résultante.
42. Dans n rondelles d'égale épaisseur et de ravons proportionnels à 1, 3, S, . . on découpe des secteurs ayant même angle nu centre. On superpose ces secteurs dans leur ordi'e de grandeur et de façon que leurs bords rectilignes soient dans deux plans verticaux. Montrer que les distances à l'intersection des deux plans des centres de gravité de la pile ainsi tonnée et du premier secteur ont un rap-
, , , , 3fl(2n»— i) port e-"' " ■
43. Dans un cône de révolution dont l'ouverture est 27., on in; ci'it n sphères langentes extérieurement ; le ra\on de la sphère 1 plus rapprochée du sommet étant !■, déterminer le centre de grii vite de ce système de sphères.
44. Gentre do gravité de la STirfare latérale d'un cône circulaii droit.
45. Contre de gravité de la sui-faie laloraio d'un tronc do cùi circulaire droit.
EXLiiicrcES i^iO
4S . Sur une droite et eu des points également distants Ids uns des autres, on applique n poids dont chacun est représenté par son numéro d'ordre augmenté du poids précédent : trouver Sa résultante et le centre de gravité du système.
47, Trouver le centre de giavité d'un segment de sphère à une
48. Trouver un cône pour lei|Liel le centre de gravité du volume se confonde avec celui de la surface totale.
49. Un cylindre est terminé par une demi-sphère. Centre de gravité du système.
BO. Étant données deux ligures situées dans le même plan, mener par un point de ce plan une droite telle qu'en faisant tourner les deus flgures autour de cette droite les surfaces ou les volumes engendrés soient dans un rapport donné. — Cas où les figures sont homothétiques par rapport au point fl\e.
51. Un cube non tiomogène repose par sa base sur un plan horizontal. La densité qui est la même en tous les points dune tranche horizontale varie à mesure qu'on s'élève :
1° Proportionnellement à la distance à la base j
2° Proportionnellement à cette distance.
Trouver, dans chaque cas, le centre de gravité.
&2. Centre de gravité du solide foi-mé par deux cônes de liautuiirs différentes et accolés par leurs bases.
53. A trois des sommets d'un pai'allélogramme on applique trois forces F parallèles, égales et de même sens, et au quatrième sommet une force l' parallèle au.x premières, égale et de sens contraire. En quel point du plan faut-il appliquer une foi'ce inconnue [wav qu'il y ait équilibre ? Quelle est celte force ?
54. On donne un triangle quelconque AlîC pesant 60"-. On mène
est fixe et l'on place en A un poids de 100"*. Quels sont les poids que l'on doit placer en B et en C pour que le triangle se tienne ho-
B5. Centre de gravité de quatre poids égaux plac d'un trapèze.
