OM ^ OA-+-AM

Tout revient donc !i calculer le segment algébrique AM. Or, il est clair que la longueur de ce segment est égale à la valeur absolue du produit vt ; il reste à prouver que les signes sont les mêmes. Il faut pour cela distinguer quatre cas suivant les signes de v et de (, savoir i

no CLiSliK.VTIQrE

i" V et I loua deux positifs ; 2^ u et f tous deux négatifs ; S" V positif et ( négatif ; 4" v négatif et t positif. — Nous nous bornerons à on examiner un, le raisonnement étant le môme pour tous. Supposons par exemple v positif et f négatif ; le mouvement s'effectue dans le sens positif, mais ; étant négatif, l'instant où le mobile est en M est antérieur à celui où il est en A, donc le segment AM est négatif, comme le produit vl., ot l'on a

AM = cl.

Si donc Xt, est l'abscisse du point A et a l'abscisse du point M, on a la formule

X ^ x^ t-vi, qui défiuit complètement le mouvement, puisqu'elle donne à chaque instant l'espace parcouru.

23o. Hemabque. — La vitesse dans un mouvement vmiformc est égale au quotient de l'espace parcouru par le temps employé à le parcourir, caria formule que nous venons d'établir du une

23{) . Vitesse moyenne et vitesse à un instant donné dans un mouvement rectillt|ne et varia. — Lorsque îe mouvement LÎ'i\n mobile n'est pas uniforme, il est naturel pour s'en faire nnt! idée, de le comparer h celui d'un autre mobile animé d'un mouvement uniforme et qui parcourrait le niSme chemin pendant le même temps. Soit x l'espace parcouru par le premier mobile, pendant le temps t ; si lo second mobile parcourt cet espace d'un mouvement unifoi'me et pendant le même temps, sa vitesse, d'après ce qui précède, serait - : ce quotient - s'appelle la vitesse maijenne du mobile pendant rintervalle do temps (. Ainsi, on appelle vitesse moyenne d'un mouvement varié, pendant un intervalle de temps (, le quotient de l'espace parcouru pendant cet intervalle de temps par le temps employé à le parcourir.

Supposons que l'on considère le mouvement pendant un intervalle de temps très court, de l'instant t à l'instant / -i- a',

rjiAi'irui: pleitier ili

et soit ia; l'espace parcouru pendauL ce temps ; l'expression de la vitesse moyenne, pendant l'intervalle de temps i(, est alors —1 et l'on appelle Kilensn du mobile à l'insfant t la limite de !a vitesse moyenne — lorsque a/ tend vers zéro. Par définition même, la vitesse à l'instant t est donc égale h. la dérivée de l'espace par rapport, au temps ; de sorte que si

X -^ f(i) est la formule des espaces, la vitesse à un instant quelconque sera donnée par la formule

"-ni).

qu'on appelle la formule des t-iiesses.

Par exemple, si la fonnule des espaces est

la formule des vitesses est

V = /,-+-2c!; si la formule des espaces est

X = Il sin ^-1 ■+■ b cos 'J-I, celle des vitesses est

V — a(a co>i 'J-l ^ Ij sin aï), etc.

Appelons M la position du mobile sur sa trajectoire .t'j;, à

l'instant /. On rn«r)c(if de représenter la vitesse à cet instant

par un vecteur MV mesuré par le

^ ^ mrme nombre que la vitesse et

'^' porté dans le sens du mouvement.

Cette convention n'est que l'extension de celle qui est relative il la représentation géométrique de la vitesse dans le mouvement uniforme ; car, par définition, la vitesse îi un instant donné n'est autre chose que la vitesse d'un certain mouvement uniforme.