Vitesse dans un mouvement curviligne quelconque
Considérons maintenant un mouvement curviligne quelconque. Soit (C) la trajectoire sur laquelle nous fixerons conventionnellement un sens positif de parcours, et soient M et M' les
17^ (;i.m';.maïique
posUions du mobile sur sa trajeoloire, aux instants ' et I +i/. Si l'on suppose xi très petit, on a une idée approchée chi inouvomcnt en (g) le comparant à celui d'un mobile cpii parcourrait k corde MM' pendant le temps ^1.
, corde MM' , ,, , .
Le rajiiion s appelle iu vi-
liissi: muiieiini: du mobile considéré pendant rintei'valli; de
temps i( ; c'est la vitesse d'un mouvement uniloinie suivant
la corde MM' et en vertu duquel l'espace parcouru pendant le
temps Ai est égal à la corde MM' ; par conséquent, si Ton se
reporte à la représentation géométrique de la vitesse dans un
mouvement uniforme, celte vitesse moyenne sera représentée
piu' an vecteur dont la valeur absolue est la même que
, coA'de MM' ^ . . ,, , , ,
coik' (lu rapport et qui csit porté dans io sens du
mouvement.
Lorsque if tend vers zéro, le point M' se ïapproche indéfmi-
, corde MM' , , , .
ment du pomt M ; le rapport tend j^énéralcment
vers une limite u, et enfin le vecteur qui représente la vitesse moyenne tend vers une position limite tangente en M ii la trajectoire et dont la longueur est o. Ce vecteur limite MV s'iqjpelle la vitesse du mouvement curviligne à l'instant (. Ou a d'ailleurs
corde MM' corde MM' arc Mïl' Tt ^ "ârc'MM' M Lorsque i( tend vers v.ùtù et, par suite, que M' se rapproche corde MM' mdelmmient du pomt M, iiii dcmonti-e que le rapport ,,,„-
a une limite égale à l'unité. 11 en résulte que la limite de
corde MM' , , , ,, , , arc JtlM'
■ est la même que celle du rapport — i ce qui
montre que la vilessu à l'inslanl t i:sl encore ihja!'', en l'inuxlrur, à la limiiii du rappnrf ih'. l'eupari- /ini-ciiii'ii nu Imijin emplnijr
cnAi'iiun PHMJiiER 'I7)J
238 . Mouveinant de l'otatioii uniforme autour d'un axe fixe ; vitesse angnlaire. — Supposons par exemple que la trajoctoire soit un cercle de centre : on dit alors que le mobile est animé d'un mouvement de rolalion autour d'un axe qui est la perpendiculaire au plan du cercle menée par le point 0. On dit d'ailleurs que le mouvementde rotation estîiw/'orai<î quand le mobile parcourt des arcs égaux pendant des temps égaux. Si l'on appelle v l'arc parcouru pendant l'unité de temps, en recommençant le raisonnement qui a été fait pour le mouvement rectiligne et uniforme, on voit que la formule des espaces est encore x ■-- x, + vt,
et la vitesse à un instant quelconque est constante en grandeur et égale h. v.
Quand un corps solide tourne autour d'un axe, chacun de ses points décrit une circonférence ayant son centre sur l'axe et dont le plan est perpendiculaire îi cette droite. Tous les points du corps tournent du même angle pendant le même temps, c'est-à-dire que les arcs qu'ils parcourent pendant le mihne temps, sur leurs trajectoires respectives, ont lamcme graduation. 11 en résulte que tous les points situés à la même distance de l'axe sont animés de la même vitesse au même instant ; on appelle alors vilcsm; an'julaire de rotation^ h un instant donné, la grandeur de la vitesse à cet instant d'un point quelconque situé à l'unité de distance de l'axe. Lorsque le mouvement est uniforme, la vitesse angulaire est évidemment constante.
Connaissant la distance r d'un point M du corps à l'axe et la vitesse angulaire <» ii un instant donné ', il est facile de calculer la grandeur v de la vitesse du point M à cet instant. Soient en ellet M el M' les positions du point sur sa Irajecluire aux instants t et î-i-i(, et soit O le centre de la trajectoire. Considérons le point m du corps situé sur le rayon OM et à une dislance de l'axe égale à l'imité ; soit iitiii' l'arc de même centre que MM'
Cl.NKKVriQUE
piircotirii par ce poinl pendant le temps il. Ou ;i é vide m ment
arc MM' OM
arc mm' Om cest-à-diro, puisque OM = ;■ et Om ~ 1, ai-o MM'
d"où
arc MM' =-
On en déduit s
iccessivcmoiit
arc MM'
et
lim
arc MM'
c'est-à-dire v = "'i'.
D'apriis cela, yi tu est la vitesse angulaire dans un mouvement fie rotation uniforme, l'arc x, parcouru pendant le temps (, par un point du corps situé à la distanco /■ de l'aM., est donné par la formule
239 . Tracé géométrique repréaciitaiit la loi d'an inoin'emeut ; courbes dBs espaces et des vitesses. — Supposons tjue la formule dos espaces dans Un mouvement quelconque, rectilig.iic par exemple, soit
(1) ^- --= fi).
Traçons dans un plan dons axes rectangulaires 0', 0.c, fixons sur chacun d'eux un sens positif et un sens négatif, e(, apri.'s avoirchoisi deux longueurs arbitraires pour représenter l'unité de temps et l'unité de longueur, portons sur Ot des longueurs proportionnelles ans temps, et sur Oa: des longueurs proportionnelles aux espaecsparcourus. En d'autres termes, considérons dans îa formule (i) l .me l'ordonnée d'un point rapporta et Oa- ; alors cette équatii.m
^fn
comme î'ubscissee
aux deux axes rectangulaire;
CilAL'irr.E PUEJIUiR 17^1
représente une courbe (G) qui, une fois tracée, penueL de iléterminertoutes les circonsLances du mouvement ; on l'appelle courbe des espaces, parce que son ordonnée, mesurée ù l'échelle des longueurs, fait connaître, à chaque instant, l'espace parcouru par le mobile sur sa trajectoire. Rien ne s'oppose du reste k ce que l'on prenne la même longueur pour représenter l'imité de temps et l'unité de longueur, et c'est ce que noxis ferons à l'aYenir,
Quelle que soit d'ailleurs la convention faite k l'égard du choix de ces unités, on voit que si le nioiivemcnV est uniforme l'équation (1) est de la forme
3; = a'o -+- vt, et la courbe des espaces est une ligne droite ; si la fuimulo des espaces est
la courbe des espaces est une parabole, et ainsi de suilc.
On voit enfin, d'après cela, ce qu'il faut entendre par rom-hr des vitesses, et comment on pourrait construire cette courbe.
Quand la courbe des espaces est tracée, il est facile d'avoir la vitesse ii un instant quelconque /. Soient en elï'ot M et il' les points de la courbe des espaces qui correspondent aux abscisses t et t~h\t, xetx~]-\x les ordonnées Pli et P'M' de ces deux points. On a vu que la vitesse ti l'instant t est la limite du rapport — lorsque Ai tend vers zéro ; or, on a \-u en géométrie analytique que la limite de ce rapport, quand il tend vers zéro, est égale au coefficient angulaire de la tangente en M il la courbe (G) ; par conséquent, si a désigne l'un quelconque des angles que 0* fait avec cette tangente, et si l'on appelle v la vitesse à l'instant (, ou a
On peut alors, au moyen de la courbe des espacos, coiiiiliuire la courbe des vitesses. Prenons en effet PI = h- 1 et menons la parallèle IHV à Oa.- ; dans le triangle rectangle HMV -mu
nv = 1111 tg:!, et, w^mme Mil = PI = 1 , ou a !1V ■:= c.
yGoosle
176 ci^Ési.iïrQiiB
Ainsi, HV mesurée ;i l'écholle des longueurs représente la \ilesse h l'instant t, ce fini permet par suite de construire la courbe des vitesses.
Inversement, la courbe des vitesses étant (racée, on pciil en déduire une interprétation géométrique de la solution do problème suivant :
240, Passer de la loi des vitesses * la loi des espaces. --- On no peut guère songer à donner une solution complète de ce problème dans im ouvrage élémentaire ; aussi nous nous bornerons à quelques indications succinctes.
Proposons-nous donc, étant donnée la formule des vitesses,
de calculer l'espace parcouru de l'instant ta àVinstant t ; airtrement dit, cherchons la différence entre les abscisses a'„ et x du mobile aux. deux instants considérés. Supposons, poai cela, qu'entre les detis instants la vitesse varie toujours dans le même sens, qu'elle aille, par exemple, constamment en croissant. Partageons l'intervallfi ; — ta en n parties très petites, 0, et soient (,, t^, . . . , f„i les abscisses qui eorrespoudent à cette subdivision, ce qui revient à dire que nous posons fi = ;„ 4- 9 ; (^ = (, + fl, etc. ; appelons enfin Va, Vi, . ., ti„i, lï les valeurs respectives de la vitesse aux instauts ï„. 11, . . .,(,!:, I, calculées au moyen de la formule (1), Si Ton suppose assez petit, on pouiTa considérer le niouvcmenidu mobile comme un mouvement unifortne dans chaque intervalle S et l'on pourra faire deux hypothèses :
Ou hien on pourra supposer que le mobile a la vitesse v^ de l'instant („ îi l'instant f,, la vitesse Ui de t, à ^, et ainsi de suite ; ou bien on pourra supposer qu'il a la vitesse v, dans le premier inter\-ailc, la vitetîi^e u. dans le second, etc. Lcii Krpaces successifs parcourus dans la première hypolbése soul
"ot'i-M, Mu~:u, ■■■, »„-,((--vv.,
et l'espace total x — .(■„ parcouru réellement est supérieur à l'a somme de ces espaces partiels ; on a donc
j-- — --h > <\{'> - U + o,(^-- ^)^ y- -.'.-iC— k, .,)■
yGoosle
CHAPITUE PREJIIEK
En adoplant la seconde hypothèse, on voil de i
Lorsque n croît indéfiniment, G tend vers zéro, et les seconds membres de ces Inégalités ont ordinairement une limite commune qui dépend de ( otque nous désignerons par /'(/); il en résulte que la loi du mouvement est donnée par ia formule
ou x = i, + AI)-
Supposons que la courbe des vitesses ait été tracée, et soient Slflio et Mi les ordonnées qui correspondent aux abscisses '„ et i; menons les ordonnées Mi(i, M^fa, ... relatives aux instants l,, (j, . . . , puis au moyen de chacune d'elles, construisons les rectangles analogues à M^I„l,Pi et à Qa'o'iM,. Appelons rectangles inscrits dans la courbe des espaces les rectangles analogues k Mj/jijPi, rectangles circonscrits les autres. Le premier rectangle inscrit a pour mesure ''o('i~''o)' 8t le premier rectangle circonscrit i\{l, — !„) ; le second rectangle inscrit a de même pour mesure i;{U — '0' et le second rectangle circonscrit Oî{U-—'i): et ainsi de suite. Il en résulte que l'espace œ — x^, parcouru par le mobile pendant le temps I — f„, est compris entre la somme des rectangles inscrits et la somme des rectangles circonscrits. Or, on démontre que si n augmente indéfiniment, ces deux sommes ont une limite commune égale à l'aire du trapèze curviligne M„r„/M : l'espace parcouru est donc représenté par l'aire de ce trapèze.
Par exemple, si la formule des vifessoi^ esl
la courbe dos vitesses est une droite I), dont ie coefficient angulaire est a et dont l'ordonnée à l'origine est h. L'espace parcouru du temps zéro au temps ;, c'est-à-dire pendant ie temps (, est représenté par l'aire du trapèze M„OfM.
Mais on a
, pour I espace parcouru,
