CHAPITRE II MOUVEMENT RECTILIGNE ET ONIFÛRMÉMENT VARIÉ

241. Définitions. — On dit qu'un niouvoment est uniformément varid quand la vitesKe varie de quantités égales en des temps égaus, et l'on appelle «océ/éra(io(! d'un mouvement de cette nature, la quantité constante positive ou négative dont varie la vitesse quand on passe du temps ( au temps i-v- i. Suivant que l'accélération est positive ou négative, le mouvement est uniformément accélérd ou uniformément retardé.

24S. Formule de la vitesse dans le mouvement unliormément varié. — Soient -; l'accélération, vi, la vitesse au temps zéro ou t>itose j«î(ia/e et fila vitesse au temps (. Si l'on rapproche la définition du mouvement uniformément varié de celle du mouvement uniforme, on voit que l'accélération joue, dans le mouvement uniformément varié, le rôle de la vitesse dans le mouvement uniforme. 11 suit de là que si la fonniilo des espaces dans le mouvement uniforme est

X =^ X„+ 1)/, celle des vitesses dans le mouvement uniformément varié sera v = v,+ yt.

ce qui montre que l'accél&i-aiion dhm viouvemeni uuljunïiémunl varié est égale au qitotient de la vai-ialion de la vitesse pui- la variation correspondante du temps.

243. Accélération dans un mouvement rectillgue quelconque. — La comparaison d'un mouvement varié à un mouvement uniforme nous a conduit à la notion de la vitesse dans un mouvement quelconque ; pareillement la comparaison d'un mouvement rectiligne quelconque à un mouvement rectiligne

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et uniformément varié, va nous permettre d'étendre la notion d'accélération aux mouvements rectilignes quelconques.

Appelons, pour cela, o et o + 4u les vitesses respectives d'un moliile aux instants (et ; + 4(. Pour avoir, une idée approchée du mouvement de ce mobile, il est naturel de le comparer h celui d'un autre mobile animé d'un mouvement uniformément varié sur la même trajectoire, et de manière que ses vitesses respectives aux instants (et i -+- i( soient précisément égales à o et à u + Au ; l'accélération de ce mobile, en vertu du numéro précédent, serait — : on l'appelle VaccÉlération moyeiine du premier mobile pendant le temps A/, Par analogie avec ce qui a été fait dans la définition de la vitesse, on est conduit à appeler accéléraiion â rinutant t dans un mouvement rccliligne quelconque, la limite du rapport — lorsque ^t tend vei's zéro, c'est-à-dire la limite de l'accélération moyenne, pendant l'intervalle de temps M, quand cel intervalle de temps tend vers zéro. Le rapprochement de cette définition avec celle de la dérivée montre que Va,ccéUraiion à l'instant t est éf/ale à la dérivée de la vitesse pur vappoH "■'<i' temps. Gomme d'autre part !a vitesse est égale à la dérivée de l'espace, il en résulte que l'accélération est é'jalr, à lu dérivée seconde de l'espace par rapport au temps.

Si donc x = f{t)

est la formule des espaces, celle des vitesses est

et celle des accélérations, Si la formule des vitesses est

V = 'ffj),

celle des accélérations est

En particulier, si l'espace jk est lié au temps i par la relation (i) 3:^a + ht^cl\

du second degré par rapport au temps, on a

(jt le mouvemeiilesl uniformément varié.

Nous allons montrer que, réciproquement, dans tout mouvement uniformément varié, l'espace est lié au temps par une relation de ia forme [i).

244. Loi des espaces dans le mon^'ement uniformément varié. — Soit en efi'et x'x la trajectoire sur laquelle nous prendrons comme sens positif le sens de lu vitesse initiale v„, de sorte que v^ sera une quantité positive. Proposons-noxis de trouver l'espace parcouru pendant le temps t. Pour cela, nous examinerons deux cas, suivant que la vitesse ne s'annuie pas ou s'aimule lorsque le temps varie de zéro à t{t~>(i). Examinons d'abord le premier cas ; il se subdivise en deux autres, suivant que le mouvement est uniformément accéléré ou uniformément retardé.

Supposons en premier lieu que le mouvement soit uniformément accéléré, c'est-à-dire que son accélération y soit positive. Partageons le temps ( on )i parties égales à G ; posons, pour un instant,

et appelons v„, o^, ..., (î„i, ■" les vitesses respectives du mobile aux instants zéro, h, . . . , /„i, I. Soient enfin .t,, et X ses abscisses aux instants zéro et (. En reprenant texluelU;ment le raisonnement du numéro 240, on a

Vtfi-hvfi-{ -H»„i9 <.i; — 370 < r,0 + rjO+ ■■■ -f-ufl.

Or, on a d'une manière générale

par suite u, = «„ -+- ï-fO ;

donc les inégalités précédentes peuvent s'écrire successivement

(1) e[D, + v„ + iii-\ \-v, + (n — i)-i-e]

<x^x^ < 6[«„ -+■ 7O -H »„ -f- 27O H ht-, -H«70|,

,,y^8-h-((i=(l+2+---t-«— l)<a;'— y;„<r(y„0-HY^3(l-[-2H ^ïi),

nin — i) ,i!n-hi)

yGoosle

ii l'on remplace par — > elles deviennent

et, d'autre part, si n croit indéfiniment, les teri ont la mCme limite.

Supposons en second lieu que le mouvement soit u ment retardé ; la formule des vitesses est alors

•; désignant la valeur absolue de raccélération, etie i ment, puisque la vitesse ne s'annule pas de ïéro à l, reste le même que plus haut ; seulement au lieu des inégalités (1) on a les suivantes :

0[r„ + tt, — yû -1- h v, — -({n — l'fi] > »■ — aÎQ

> H[i:^ — -fi^v^ — 2'fi-[ -i-Uj^ — Y^fll,

que l'on met facilement sous la forme

On eu conclut x— .ra == u„i -jr

formule qui ne diffère de la précédente que par le cliangement désigne de y-

Il reste à examiner le cas où la vitesse s'annule lorsque le temps varie de zéro à t. Dans ce cas jj» étant par hypothèse positive, l'accélération est négative et la formule des vitesseri est