PB OA
OB' ~ OA' ' par suite,
^^' OB' t'
ce qui montre que l'espace parcouru est proportionnel au temps employé à le parcourir et, par conséquent, que le mouvement est uniforme.
Il nous reste à trouver la vitesse de ce mouvement. Pour cela, supposons que i' = l; alors, par définition même, OA', A'B' et OB' sont respectivement égales à la vitesse d'entraînement, il la vitesse relative et iUa vitesse absolue, puisque ce sont les espaces parcourus pendant l'unité de temps. Mais on peut considérer OB' comme la diagonale du parallélogramme construit sur OA' et sur A'B' ; donc enfin :
192 ciMiy.vrujL-E
Le mouvement rikull'U'l 'li; ilnix viuntriurnU ri'.cJi!i<jw:'< i:! uniformes, de vitesses v el r\ rsl un moin-nin;)! /■'•rJitlijii^: lU unifornie dont la vitesse est lu soiniui' ijéumi'ii'iiitie d''. I" i'//''>.s'c relatioe et de la vitesse d'eiilrnuiemei:!.
2o2. Corollaires. — 1° La vitesse relative v' esl lu sownu; fjéoméli-iciue de la vitesse absolue Y el de la vitesse d'pntrahiemeiïl o prise en sens contraire.
Remarq^ioûs d'ailleurs que la vilesse d'entraînement prise en sens contraire n'est autre chose ([ue la
^ -^ vitesse apparente.
1,'/ Y-^ / 2° La vitesse d'entraînement est la somme
\^^ y ' (/êoméirique de la vitesse absolue et de la
^ vitesse relative prise en sens contraire.
3° Entre les trois vecteurs v, v' et Y on a les mêmes relations qu'entre deux forces et leur nhultanle.
Ces diverses propositions vésuUent immédiatement île l'exiimen de la figure ci-conlre.
2j3- Composition d'un nombve qiielconc|ue de moiivemonts pettillgues et wiiUoi-mcs. ^ La règle de composition de deux mouvements rectilignes et uniformes s'étend à un nombre quelconque de mouvements de cette espèce. En d'autrea termes, le mouvement rfisultant d'un nombre quelconque de mouvemenis rectilignes et uniformes, est un mouvement rectili.rjne et uniforme, dont la vitesse s'obtient en faisant la somvt-e i/éom,'',triqae des vitesses des mouvements composants:
Cette proposition se démontre de proche en proche. Quand on a deux mouvements composants, la règle conduit au parailélotjramvie des vitesses ; elle conduit au pa^raliéUpipède des vitesses, quand on en a trois.
Enfm, quand tous les mouvements ont la même direction, la somme géométrique coïncide avec la somme ordinaire ; de sorte que si l'on a fixé un sens positif et un sens négatif sur celte direction, la vitesse résultante sera la somme algébrique d^s vitesses comjyosantes.
CIlAl'lTilB ILI
iii:ï
SS-i. Composition des vitesses quand les ni qiielcoiiiiues. — La règle do composition des vitesses de plusieurs mouvements rectiligne^ cl uniformes, donnée plus haut, peut être étendue facilement &, des mouvements quelconques. Bornons-nous, par exemple, au cas de deux mouvements : un mouvement d'entraînement du système S et un mouvement relatif ri'un point M dans ce système. Soit A la position du mobile pour une position initiale du système S à l'instant (, et soit T la trajectoire relative du point dans le système. Al'instant t + ht lepoint A du système est venu en B, et la trajectoire T s'est transportée parallèlement â elle-même en T ; mais pendant ce temps, le point M s'est déplacé sur sii U-ajectûire relative et est venu en un point B', de sorte que sa vitesse absolue à l'instant i est, par dêfmition même, une longueur égale îi lim. — , portée sur la position limite de AB' quand i/ tend vers /.ôro. Appelons vilesne d'enirahimumi du point M h l'instant ( la vitesse, à cet instant, du point A du système S avec lequel il coïncide à ce même instant ; par définition, celte vitesse sera la limite de — quand \{: point B se rapprochera indéfmiment du point A, et elle sera portée sur la position limite de AB. Enfin la limite de
— -, portée sur la position limite de BB', sera la vitesse relative du point M al'instant t.
Cela posé, portons hB, — —j et consiruisons les deux triangles semblables ABD'cL AB,B;: par raison de similitude, on a
' ' ii 'M
de sorte que si Ai tend vers v.éro, le triangle ARilî; a pour m. — HÉCAS. 13
194 Cl>'ÉJiATlQrE
limite un triangle APR dont les longueurs des côtés sont lespectivemcnt AP=Um.^, PR = lim.ïï, AR = lim. ~~.
Mais les directions AP, PR ot AU sont les limites respecti\ es de AB, BB' et AB', c'est-à-diredela vitesse d'entraînement, de la vitesse relative et de la vitesse absolue du point M, Donc AP, PR et AR sont respectivement égales à ces vitesses un grandeur et sens. Or, AR est la somme géomélviiino (}<■ AT et de PR ; donc enfin, la oilesse absolue est la swinm: 'ji-dukItiique de la vitesse rdalivc et tk la vilense d'enl-i-alm'uirnl i.ui, si Ton veut, ta diagonale du lan'uUrlirirnnuiic rjiiulriiil .sni- cvs deux vitesses.
On étend ensuite facilement cette règle, deprocliecn jii'oelie, à un nombre quelconque de vitesses.
233. Remahqce. — DécomposUion den Kitnssns. — La décomposition des vitesses suit évidcmmeni los Liièmes rè{i-les que la décomposition des forces.
— Uii courant a une oilesse v doimée en grandeur et direction; quelle direction faut-il donner à un haleau dont la vitesse if est donnée m grandeur pour atteindre un ^Joint donné de la rive opposi'u?
Soit le point de départ et p,oieut OA la vitesse du courant et B le point h. atteindre. La question se ramène à la construction d'un triangle dont on connaît deux côtés v, v' et l'angle AOB opposé au côté v'. On décriradoncunecirconférencedecentre A eidorayon v' etVon prendra les points C et D oii celte circonférence rencontre OH. Les directions cherchées seront alors OC parallèle ii AC et OD' parallèle à AD.
257. Application II. — Deux locomotives s'éloignent l'une de l'autre dans des directions données Ox et 0;j, avec des vitesses
ciiAi'iTriE ]ii l'Ji^)
respecUves v et i^. Par rapporta la première, la deuxième semble prendre un mouvement apparent dans une direction Os et avec une vitesse v"; trouver celle direction et cette vitesse.
La vitesse apparente du sol par rapport à la première locomotive est égale et de sens contraire à v. Par rapport à un observateur placé sur cette locomotive, tout se passe donc comme si Vautre locomotive participait à deux mouvements de vitesses respectives ' ^ u' et — V. La diagonale du paral-
construit sur v' et sur — v déûnit alors Oz
258. Projection du mouvement sur trois axes rectangulaires «ses, — Soit OT la trajectoire d'unmobile animé d'un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse V. Rapportons le mobile à trois axes rectangulaires Ox, Oj/, 0:, et soit la position du mobile au temps zéro. Au bout d'im temps quelconque (, le mobile occupe sur sa trajectoire une position M défmie par OM = Vi, et si l'on appelle P, Q, R ses projections sur les trois axes à cet instant, ses coordonnées x — OP, y ~ OQ, 3 = OR au même instant, sont égales aux projections respectives de OM sur les ti-ois axes. Or, si l'on appelle «, ^, 7 les cosinus directeurs de OT, on a
OP-=OM.a, OQ^OM.p, 0R = OM.7.
Par conséquent, puisque OM = Vf, on aiiiM
(1) ! y^Vi.?,
z^yt.-i.
yGoosle
196 cLMiii Ai!Qi;i:
L'une quelconque de ces équations est la formule des espaces dans un mouvement uniforme. La première, par exemple, définit un mouvement uniforme sur l'axe des x avec la vitesse Vi ; de niÉme la deuxième et la troisième définissent des mouvements uniformes sur Oi/ et sur 0; avec les vitessesrespectives Vp et \~;. Connaissant ces trois mouvements, on connait par cela même le niovivement du mobile dans l'espace, mouvement dont la vitesse a pour projections respectives Vi, Vp, Y-f et est, par suite, la somme géométrique de ces Uoisvitesses. Ces trois vitesses V», Vp, Vy s'appellent les coiuposanljîs de ia vitesse V suivant les axes 0.r, Oy, 0:, et si on les désigne par X, Y, Z, on a
(2) x = Xt, y =11, z-=7A.
Supposons, plus généralement, qu'un mobile soit animé d'un mouvement rectiligne et imîforme résultant de plusieurs autres mouvements également roctilignes et uniformes, et proposons-nous de déterminer ses coordonnées a:, ■//, e à un instant quelconque (, par rapport aux trois axes Oa;, Oi/, 0:. Supposons toujours que soit la position initiale du mobile et appelons Vi, Y?, ...,V,i les vitesses composantes, V la vitesse résultante. Puisque Y est la somme géométrique de Vj, V=, .... Y,„ en projetant sur un axe quelconque on a
proj. V = proj, Vt + proj. VjH hproj. V„,
Appelons alors X, Y, 7. les composantes de V siiivant les. axes, Xi, Y;, 'l, celles de Y;, et projetons .successivement suivant Ox, 0;/ et Os ; nous aurons
