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yGoosle
Quant aux cosinus directeurii «, ^, ^ de la vitesse résultante, on ies obtient facilemcnL quand celle-ci est déterminée. On a en effet
X = Vî, Y = >îp, Z == V-f
cl., par suite,
250. Théorème. — Lorsqu'un ■pi'oJi^Ue siii- un phui on sur in: oxe un mobile animé d'un iiumvevienl. quelconque, la filesse du mobile projection est éyale û chaque inslanl à la proji'clion de In vitesse du mobile dans l'espace.
Nous nous bornerons à donner la démonstralion de cette proposition dans le cas où l'on projette sur un axe : le raisonne- (G) nient est du reste le même quand
on projette sur un plan.
Soit donc a/j.- un axe de projec-
, „^- tion et soit (C) la trajectoire du
' ' mobile dans l'espace. Appelons M,
et M'i deux positions du mobile sur sa trajectoire aux instants / et t + àt, et soient liii et mi leurs projections respectives sur l'axe, le système de projection étant d'ailleurs quelconque, orthogonal ou oblique. Désignons par M le mobile dans l'espace, par m le mobile qui en est la projection sur x^x, dans le système de projections considéré. On a évidemment mii/i'i = proj. MjM;
= proj. ■ ^^
rdc M,.\[/ h paitir du point M,. Or, — — ^ est k vitesse moyerme du mobile projection pendant le temps M ; — - — est la vitesse moyenne du mobile M, pendant le môme temps. L'égalité précédciito signifie donc que la vitesse moyenne du mobile m, projection
et
de M, ost toujours égale à la projection de la vitesse moyenne du mobile M. Si donc on fait tendre àl vers zéro, on aura
,. i>hm\ , M, M',
ou bien
lim '"'"'' '-■ ,r<r r ^^il Mais si V est la vitesse du mobile M, c celle do sa projoetioii
J],M', I. inn
En remplaçant, on aura donc
= proj. V. C. Q- F. D.
20(1, A|>|)licaiion. — Supposons que l'on aitrajjporté le mouvement d'un point mobile à trois axes rectangulaires ou non, Ox, Oy, Os. La position de ce point à un instant quelconque est complètement définie par ses coordonnées w, y, z, qui sont des fonctions du temps, connues en même temps que la loi du mouvement. Soient alors
les expressions de x, y, z en fonction de t. Ces expressions définissent à chaque instant les projections du mobile sur les Irois axes. Or, les vitesses respectives de ces projections sont
no. ?'(o, m,
en vertu de la définition de la vitesse dans un mouvement reotiligne quelconque. Il suit alors du théorème précédent que la vitesse du mobile dans l'espace est la somme géométrique de eesirois vitesses portées respectivement sur les axes Oa.', 0;/, 0:.
Si le mouvement du point s'effectuait non dans l'espace mais dans un plan, en prenant deux axes quelconques Ox et Oi/ de ce plan, la position du mobile serait définie par deux équations seulement,
et, par suite, la vitesse à un inbtant quelconque serait la
cuAPiTui; 111 ■19!)
! géoniélrique de /'(i) et de a'{t), portées respecUvement sur Ox et sur O5/.
La composition de deux mouvements rectiligûcs et uniformes peut se déduire immédiatement de ces considérations. Si nous reprenons en effet les formules (1) du numéro 231, nous avons
dont les dérivées respectives sont v et v' ; donc la vitesse du mouvement résultant est la somme géométrique de v et de v'. Les problèmes qui suivent vont d'ailleurs nous fournir d'autres exemples.
2(îl. Composition d<? deus mouvements rcclllignes et unlîormémont variés. — Supposons qu'un système invariable S soit animé d'un mouvement rcctiligne et uniformément varié parallèle à la droite x'x. Soient -[ raccélération de ce mouvement et l'a sa vitesse initiale dirigée suivant œ'x. Supposons, û'autrepart, qu'un point mobile occupant primitivement la position 0, prenne, si le système S demeurait lixe, un mouvement rectiligne et uniformément varié suivant y'y, d'accélération f' et de vitesse initiale tîj, dirigée suivant y';/. Admettons de plus, ce qui est conforme à l'observation, que Se mouvement d'entraînement n'ait pas d'action sur le mouvement relatif, et comptons le temps à partir de l'instant où le mobile est en 0.
Au bout du temps t, tous les points du système S ont parcouru des chemins égaux, parallèlement k x'x et, en nous bornant au point 0, cepoint occupe une position A telle que l'on ait en grandeur et sens
OA^ t>„f-t- — Yf^
La droite ;/'f/ s'est déplacée parallèlement à elle-même et est
200 ciNiiJiAnnuE
venue coïncider avec la droite Ai/, qui lui est parallèle. Mais pendant ce temps le nioljile s'est déplacé sur sa trajectoire relative el a pris une position li lelle que l'on ait en gratnleui' et sens
AB ^ <; -H i -f'i^
Si donc X et y sont les coordonnées, par rapport à Oj.- et. Oi/, du mobile k l'instant t, on a
Sa vitesse au même instant a pour composantes respectives suivant les axes, les dérivées de x et de y par rapport au temps, c'est-à-dire «o + ï( suivant Ox et v'^-i-'/t suivant 0;/. Mais Va~h-(t est la vitesse du mouvement d'entraînement et v'„+f'l est la vitesse du mouvement relatif ; donc la vitesse du mouvement résultant est h chaque instant lu somme géométrique de la vitesse relative et de la vitosse d'entraînement.
Ajoutons que les équations (1) définissent la trajectoire absolue du mobile et enfin que l'équation de cette trajectoire s'obtient en éliminant ( entre les deux équations : on trouve facilement l'équation d'une parabole, dans le cas général.
La trajectoire devient une ligne droite lorsque les vitesses initiales sont nulles. Dans ce cas, en effet, les formules (1) deviennent
et l'équaiion de la trajectoire.
U est aisé de prouver, dans ce cas, que le mouvement esl
ciiAPiTtiE m 201
uniformément varié et que l'accélération du mouvement résultant est la diagonale du parallélogramme construit sur les accélérations composantes. Si l'on désigne en etiet par B' la position du mobile au temps (', par œ" et y' ses coordonnées,
et la comparaison des formules (3) et (A) donne
Mais les triaiigles OAB, OA'B' étant semblables, on a OB OA X
et par suite
