PROPORTIONNALITÉ DES FORCES ET DES ACCÉLÈRATIOWS ; MASSE
274.. Théorème. — J.u l'ujipoi'l ih deux forces covslniilnn est égal au raj)port des accMérotiofis qu'elles prodxmeni si'qjai-ihnent xuvunmême point matériel partant du repos ou animt! d'une vitesse initiale dans la dinclion de la force.
Soient en effet F et F' deux forces constantes, y et i les
accélérations des mouvements rectilignes et uniformément
variés qu'elles communiquent séparément à un mime point
matériel partant du repos. Supposons d'abord que les doux
forces aient une commune mesure f. et soit
F = nf, ¥' = n'f,
F n de sorte que -r; = —■
La force f agissant seule sur le point matériel partant du repos lui communique une certaine accélération o ; supposons alors quel'on fasse agir simultanément n forces égales à /'dans la mÊme direction, qui sera la direction de la vitesse initiale si le point est animé d'une vitesse initiale ; en vertu d'une remarque faite numéro 261, le mouvement du point sous l'action simultanée de toutes ces forces s'obtient en composant les mouvements produits par chacune d'elles individuellement et, comme toutes les forces agissent dans la même direction, l'accélération du mouvement résultant est égale k la somme des accélérations des mouvements composants, c'est-à-dire à «tp. On a donc
et l'on prouverait de même que l'on a
et, par suite
Supposons maintenaRt que les deux forces n'aient pas de commune mesure et soit f une force contenue v-a nouibro exact de fois dans F' ; supposons que cette force / soit contenue m fois dans F mais n'y soit pas contenue m -{- 1 fois,
seront les valeurs approchées du rapport t7 à — prés par défaut et par excès.
D'après ce qiii a été dit plus haut, si l'on appelle <? l'accélération du mouvement que prendrait le point matériel partant du repos et soumis seulement à l'action de la force /', on a
d'autre pai't, en vertu aussi de ce qui a été dit phis iiai.it, et
puisque la force F est plus grande que m forces /' mais plus
petite que m + 1 de ces forces, on a aussi
sont aussi les valeurs appro-
chées du rapport -7 a — près par défaut et par excès.
Le raisonnement étant indépendant de la valeur du nombre
jt, on voit que les deux nombres ■
mêmes valeurs approchées à — près, donc ils sont égaux par
délinitioii et l'on a
275. Remarques. — 1' Le poids P d'un point matériel lui imprime une accélération (j\ si donc F est une force constante et -f l'accélératLon qu'elle imprime au même point partaui du repos, on a
yGoosle
Si l'on considère une même force F agissanl. sur divers points matériels, g étant constant pour le même lieu, P est la seule variable du second membre de la formule {%: cette formule montre alors que l'accéUfcdion produile par une foi'cc est inversemmt proportionnelle au poidu du point viatérid auquel elle est appliquée.
2° Si dans l'égalité (1) les deux membres ne représentent pas seulement des rapports mais des quotients dont les termes sont les mesm'es des forées et des accélérations, on peut changer les moyens de place et l'on a
d'où il suit que si différentes forces agissent sur un inéme point
matériel, le rapport de chaque force à l'accélération corresjjon-
dante est constant.
276. Définition delà masse. — On appelle jkûsï'^ d'un point, matériel le rapport constant des mesures d'une force constante et de l'accélération qu'elle produit sur ce point. Il résulte en effet de la remarque précédente que si plusieurs forces constantes F, F', F°, ... produisent sur le même point matériel les accélérations respectives y, ■/, -;", . . . , on a
La valeur commune, i», de ces rapports est la masse du point matériel. Si d'ailleurs la masse du point matériel et l'accélération que lui imprime la force F sont connues, on a
en vertu même de la définition de m.
277, Unlié de masse. — L'unité de masse résulte de la définition même de la masse, dès qu'on a choisi les unités do longueur, de temps et de force. Si en effet dans l'équation (4)
21 (i DYNAMIQTJE
on fait m — 1, on a F = ■(; dès lors l'vnili de vmsxc es! celle jioiif lai/uelle la foi-cn a même mesure que Vaceéh'-i-ntiou . On a en particulier pour l'nnito de masse
P désignant le poids du point matériel de masse 1 ; doac si Ton a pris pour unité de force le poids d'un décimèlrc cube d'eau distillée à i",! et à la latitude de Paris, i'unité do masse est celle dont le poids à Paris est
ou la masse de 9,8096 litres d'eau distillée, etc.
La masse d'un corps formé par la réunion de plusieurs autres est égale à la somme des masses. En effet, si l'on a un corps dont le poids P est égal à la somme des poids fi, p' p" de plusieurs autres corps, c'est-ît-dire, si l'on a alor^^ P ~ p + p'-l-p",
Si donc les masses respectives de ces corps seul M, m, w', m" . un a
11 résulte évidemment de tout ceci que la masse d'un covys peut être évaluée au moyen de son poids.
On appelle densité ah,inh.ie d'en corps la masse de TTiniiô de volume, de sorte que si M est ia masse de ce corps, V son volume et D sa densité ahsoiue, on a
Le poids spécifique d'un corps étant le poids de l'unité de volume, si P est le poids du corps et d son poids spécifique,
278. ReKiartpie [mportante. — I! y a une remarqu(i essentielle à faire, au sujet de la niasso. Par définition, lamasse d'un point matériel dépend de la force et de Taccélération; celle-ci dé-
CIIAPITRK II 211
pend à son toou chi temps et de l'espace parcouru, de sorte que la masse dépend à la fois de l'unité de force, de l'unité de longueur et de l'unité de temps.
Les égalités (3) supposent ioutes les forces évaluées avec la même unité de force et toutes les accélérations avec les mêmes unités de longueur et de temps ; le nombre obtenu pour la masse m et l'unité de masse elle-même dépendent de ces unités.
Ainsi, supposons qu'une force de 3"^ produise une accélération de 2 mètres par seconde ; les unités étant le kilogramme, le mètre et la seconde, la masse est égale à — = 1,5. Mais supposons maintenant que l'on prenne pour unités le gramme, le centimètre et la minute -, comme la force de 3'^ ou de aOOO^'" produirait l'accélération de 200 centimètres par seconde, elle produirait l'accélération 200 X 60^°" par minute, car la formule x — —li^ montre que l'accélération est le double de l'espace parcouru pendant l'unité de temps qui est maintenant la seconde. La masse avec les nouvelles unités serait donc
200 X 60^ 240 Pour savoir quelle est l'unité de masse dans ce système, je reprends la forme P = g. L'accélération due à la pesanteur est, comme on vient de le voir, le double de l'espace parcouru pendant l'unité de temps, c'est-à-dire pendant 60 secondes ; cet espace est égal à
9,tW<)fi X 100 X 60^ centimètres, et l'unité de masse est celle qui pèse ;i l'uiis, dans le vide,
9,8096 X 100 X 60^ grammes, c'est-à-dire la masse de
9,8096 X 100 X 60^ centimètres cubes d'eaii distillée à ■1°,!, ou cnfln la masse d'un nombre de litres exprimé par 9,8096X100X6
yGoosle
218 Dï^A,^llQt]E
â19. Unités absolues ; système C. G. S. ^ II y a inconvénient à faire dériver l'unité de matîse do l'unité de force conmm nous l'avons fait plus haut. En effet, ainsi que Gauss l'a remarqué le premier, si l'on prend le kilogramme pour unité de force, le poids de cette unité n'est pas le môme en tous les points de la terre ; à l'équateur par exemple il est plus faible qu'au pôle. Sur les plateaux d'iine balance, deux poids d'un kilogramme se font équilibre en n'importe quel lieu île la terre, et par suite l'évaluation du poids des corps au moyen des poids marqués ne sera pas changée, mais l'effet du mûme poids sur un dynamomètre ne sera pas le môme d'un lieu h un autre. 11 suit de là que si l'on voulait, de cette manière, rapporter les forces à une unité invariable, il faudrait un poids-étalon pour chaque lieu.
Pour éviter cet inconvénient, au lieu de faire dériver l'unité de masse de l'unité de force, on fait l'inverse. A cet efi'et, on observe que la masse d'un corps est la môme en tous les points de la terre ; car, si l'on appelle (/ et ;/ les accélérations imprimées par la pesanteur au même corps et en deux lieux différents où le corps pèse P et P", on a ^ ¥' U ^ 'f
Un poids-étalon étant alors fixé en un lieu déterminé à la surface de la terre, on pourra prendre la masse de ce corps comme unité de masse ; l'unité de force s'en déduira jjar la foniiule
/' --= '",'/, et sera égale à la force qui communique l'unité d'accélération à l'unité de masse.
Il est bon d'entrer ici dans quelques détails relativemcul au choix des unités dans la mesure des grandeurs. L'évaluation d'une grandeur quelconque se fait au moyen d'une autre grandeur de même espèce qu'on appelle muté. Parmi les grandeurs que l'on a k mesurer, il y en a dont on peut faire dériver la mesure de celle d'autres grandeurs d'espèce différente : telles sont par exemple les aires et les volumes en
ClIAPITHE 11 2U)
géométrie dont la mesure dérive de celle des longueurs. Pour cette raison, les aires et les volumes sont appelés des grandeurs dérivép,s, tandis que les longueurs sont appelées grandeurs fondamentales.
En mécanique on rencontre trois grandeurs fondamentales qui sont : les longueurs, les temps et les masses ; toutes les autres grandeurs, forces, vitesses, accélérations, etc., peuvent être considérées comme dérivées de celles-là. La mesure des grandeurs que l'on rencontre en mécanique dépend donc du choix de trois unités fondamentales : unité de longueur, unité de temps et unité de masse. Fixer ces unités au moyen d'éléments naturels et autant que possible invariables, c'est faire choix d'un système d'unités, absolues.
Le système d'unités absolues universellement adopté maintenant est ie système C. G. S. (centimètre-gramme-seconde).
Dans ce système :
1" Viinité de longueur est le centimètre, c'est-à-dii'o la centième partie du mètre-étalon déposé aux Archives nationales et qui est à peu près égal à la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre ;
2° Vunité de temps est la seconde sexagésimale de temps solaire moyen ; elle dépend à la fois du mouvement de la Terre sur elle-même et de son mouvement de translation autour du Soleil ;
3° h'xtnité de masKe est le graiiiiHC-^nasse, c'est-à-dire ia inassi; d'un centimètre cube d'eau distillée à -i",! et dont le poids à Paris, dans le vide, est â peu prés la millième partie du kilogramme-étalon déposé aux Archives.
En vertu de ce qui a été dit plus haut la force doit être considérée comme ime grandeur dérivée, et nous avons appelé unité de force celle qui communique l'unité d'accélération à l'unité de masse. L'unité de force s'appelle la dyne.
Cherchons à exprimer en dynes le poids, à Paris, de l'unité de masse. Pour cela faisons m = i dans la formule p = my ; il vient f = g. Donc le poids de l'unité de masse e^l 'y. Or,
à cause de rimité de longueur, on a, à Paris, <; = 080,90 ; donc le poids cherché est égal h 980''s'"^',96.
280. Quantité de mouvement. — On appelle quandli: de mouvement d'un point matériel à un instant donné, le produit mv de la masse du point par sa vitesse à cet instant.
281. Tliéoi'ème. ~ Si deux poinls matériels, de masites fc.vpectives m et m', partent mnulianément du repox soua l'ncHun de deux forces constantes F et F', leurs quanlités de mouvement au même instant sont proportionnelles aux forces.
Les forces étant constantes, les mouvements qu'elles impriment aux deux points matériels sont uniformément variés. Soient -j et ■^ les accélérations de ces deux mouvements, V et v' les vitesses des deux mobiles à l'instant ;. On a successivement
F = mt, P' '-= j,
Mais on a aussi
282. Coi'oHaiie - Si cl m jh pectives m et m' paitmt i ' de deux forces constantps i instant sont invm sment pi j
En effet, si l'on tait 1 — I vient successivement
I po\ iuiiç l action \ p( o' l'ti vii^mi
^ilile pierLdenh iS
C'est ainsi que la furce do la poudre dans une arme ' imprime à l'arme un mouvement de recul dont la vUess' inversement proportionnelle h. celle du projectile.
