Expression d'une force variable au moyeu de la ir

et de Vaccéieralîon, — Tliéoréme. — Une force constante o

ciiAPiTKi: Il 221

riable agissant sur un poitit matÉriel est ligale au pi-oduit de la masse de ce pointpar l'accélération qu'elle lui imprime.

Supposons d'abord une force constante F agissant siu' un point matériel de masse m et lui imprimant une accéléralion -f ; d'après la définition mûme de la masse, on a

-r=m, d'où V = m-,.

T Considérons maintenant une force, variable avec le temps, agissant sur un point matériel de masse m et lui communiquant un mouvement rectiîigne. Si l'on appelle v et n + Au les vitesses de ce point aux instants (et î + Af, l'accélération moyenne pendant l'intervalle de temps A( a pour expression — ; mais si M est très petit, on peut considérer la force comme constante dans cet intervalle, de sorte que sa valeur, en vertu du premier cas, est m — ■ Il en résulte que si it tend vers zéro, la valeur de la force à l'instant t est égale à la limite du produit m -- ; or, si Von appelle F et y les valeurs resi)ectivos de la force et de l'accéiération à l'instant /, on a

lim. m — = î'iv, M

et par suite F =^ my,

ce qui démontre la proposition.

284. Applioation. — Cette formule dorme la solution des deux problèmes suivants :

1° Trouver la force qui produit nn mouvemeni recHUgne dont la formule des espaces est donnée ;

2° Trouver le mouvement produit par une force donnée en fonction du temps.

Pour résoudre le premier problème, il suffit de rappeler que dans un mouvement rectiîigne quelconque, l'accélération ii un instant quelconque est égale à la dérivée seconde de l'espace par rapport au lomps ; de sorte que si

222 ]>\"NA]viiytiE

esl. lii. forinuli; des espaces, on a

■I = rc).

et, par suite, F — mf'it).

Quant au second problùinc, il suffit de remarquer que la

relation F — m-; donne

ce qui fait connaître l' accélération ît un instant quelconque. Ou en déduit la loi des vitesses , puis la loi des espaces, comme cela a éld expliqué numéro 240.

Par exemple, si la formule des espaces est a- = a cos ifk, on a successivement

f = — iik COS t\lk — — kx.

Il en résulte

c'est-à-dire que le luouvemcnt est produit par une force attractive, proportionnelle \\ la distance et émanant de l'origine des abscisses.

Le mouvement défini par cette équation, X = a cos '/'?, est ce qu'on appelle un mouvement viOroluirc simpli'. Le mobile oscille indéliniment entre les

^__Al ^.^ è - points A, et A' de sa trajectoire,

^'' ^^ " correspondant aux abscisses n et

— t). La durée d'une oscillalion, c'est-à-dire le temps employé pour parcourir la distance AA', est égale à -j ■ V'- Inversement, si un point est attiré proportionnellement à la distance par une force

et si, il l'instant );éro, quand son abscisse est a-^, sa vitesse initiale est nulle, son mouvement est défini par l'équafion

(i) X = ;to cos ;\/T.

En effet, si on cherche la force qui produit le raouvemenf défini par l'équation (l) on trouve, d'après ce qui précède,

Far suite, le mobile considéré et celui dont le mouvement est défini par l'équation (1) sont, â chaque instant, soumis à la même force et, comme ils occupent la même position initiale, qu'ils ont de plus la même vitesse initiale zéro, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer, leurs mouvements sont confondus ; donc le mouvement produit par la force F — — wkx, lorsque la vitesse initiale est nulle, est bien défini par l'équation (t). La durée d'une oscillation est -=;■