MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE
îiH'i. Définition. -- JJn projiiclUi: est un corps soumis il Taction de la pesanteur et lancé dans une certaine direction aviîc une vitesse initiale donnée. Nous supposerons le corps réduit à un point matériel et nous négligerons la résistance de l'air ; de sorte que la question se ramène à l'élude du mouvement d'un point matériel soumis à l'action d'une force constante en grandeur et en direction, et auquel on a imprimé une vitesse initiale donnée. Nous appellerons 'j l'accélération imprimée par la pesanteur ix ce point matériel partant du repos et nous diviserons le problème en plusieurs autres.
286. Problème I. — Étudier le wouvement d'un point matériel pesant abandonnai à hti-mème sans vitesse, initiale à une an-iaine hauteur au-dessus du sol.
Appelons x le chemin parcouru par le mobile pondant le temps t et compté à partir du point de départ. Le point étant soumis à une force constante, son mouvement est imiformémeat accéléré ; si donc g est l'accélération dirigée dans le même sens que la force, c'est-ii-dire de haut en bas, on a, en vertu des formules qui ont été établies en cinématique,
et par suite
(2) V ^ Ht.
La première de ces deux formules donne l'espace parcouru pendant le temps ( et la deuxième donne la vitesse au Ijout du môme temps. Si on élimine t entre les deux, on obtient
.' = %,;, formule qui fait connaitre la vitesse en fonction de l'e.space parcouru.
sm. Application.— Un ■point mal liriel pesant est abandonivi à hd-mème mns vitesxe initialK sur la verllcale x'x. Il occupe une position donnée A à un instant inconnu el parcourt vn chemin donné h pendant le temps 0, à partir de eet instant ; (rônver sa position initiale.
Soit la position initiale du mobile. Posons OA = x cl appelons t le temps employé à parcourir ce chemin; on a en vertu de l'équation (1) 1 , .^■ = -2 »''■
D'autre part, à la suite du chemin x et pendant lo temps 6, le mobile parcourt le chemin h, c'est-àdire qu'il parcourt le chemin x-\- h pendant, le tomps i + 1) ; la mûme formule donne donc encore
Ces deux équations font connaître ( et x.
On en tire d'abord par soustraction
Pour que le problème soit possible, il faut que / soit positif, ce qui exige que ('on ait /' > o ■
■2B« ProWème 11. — Kliidîri- !<■ ,i,inn-emeut d''iii pi'iiK walOriel pesant lancé veiiicnlenfiil de haut en lias avec nue niti'ssr initiale i\.
Le mouvement du mobile est encore un mouvement uniformément accéléré et peut ôtre considéré comme résultant do deux autres s'effectuant de haut en bas suivant la verticale :
1° Un mouvement uniforme avec la vitesse îîj, el en vcrlu duquel l'espace parcouru au bout du temps ( est v^i ;
2" Un mouvement uniformément accéléré qui est le infime que si le point partait du repos, dont l'âc celé ration est 7, et
2^0 Dï> IJIlQiJE
donl,parsuile, le eliemiiipaicouru pondant le temps l est -yl". Le chemin parcouru pendant le même temps dans le mouvement résultant sera donc
on tire de là la formule
(4) K^v,+!it
pour calculer la vitesse.
289. Remakque. — On aurait pu écrire las deux formules (3 j et (4) immédiatement, puisqu'on sait que le mouvement est imlformément accélérii, quii la vitesse initiale est v„ et l'accélération 3.
290. Pi'oLléine lli. — Éiudkr lu mouviny-ni d'im poinl walài-iel -pesant lanci vurlicakinenl de bas en haut avec une dlenar initiale 0^.
Prenons comme diveclion positive sur la verticale Ox la direction contraire à celle de la pesanteur et soit le point de départ du mobile. On peut encore considérer !e mouvement comme résultant de deux autres :
i" Un mouvement uniforme suivant Ox avec la vitesse initiale 0^; 2" un mouvement uRiform.éinont varié suivant 0.^■' avec Taccélération g quolapesaiu leur imprime au point matériel partant du ropos. En vertu du premier mouvement l'abscisse du mobile par rapport au point est vj, au bout du temps t écoulé h partir de l'instant où le point a été lancé ; en vorin du second, l'abscisse au bout du même temps est ^;/;^ puisque le mouvement s'effectue dans le seiv3 des abscisses négatives. L'abscisse du point dans li! .iiou- Ycment résultant sera donc
on en déduit la formule des vitesses,
ciiApnnK m 227
cl rôUmination de I. entre les deux équations donne
(7) .■ = »î-2ji;
cette nouvelle formule donne l'espreasion de la vitesse en. fonction de l'abscisse.
Voici quelles sont les propriétés du mouvement déduites des équations (5), (6) et (7) :
1° D'après l'équation (6) la vitesse diminue loi'sfiuc / :\ug-mente ; elle devient nulle pour f — — , de sorte que si Ton
fait croître -( de zéro à — la vitesse décroit rie i\ h zéro. En se reportant à l'équation (S) on voit que pendant le même temps l'espace parcouru x est positif et croit, parce que dans !e trinôme du second degré qui ligure au second membre !e coefficient de l^ est négatif; d'ailleurs — est égala la doiiii-
somme des racines, et par suite lorsque ( = — la valeur de
X est maximum : cette valeur luaximum est égale à -— et, en
2;/ se reportant h la formule v^ = '2'jx du problème l, on reconnaît que la hauteur maximum k laquelle s'est élevé le mobile est celle de laquelle il faudrait le laisser tomber, miix vitesse initiale, poiii- lui faire tia/urrir la vitesse -y,, ri ta fin de sa chute.
2° Lorsque ( continue à croître à partir de — ^ la vitesse devient négative, x diminue et le mobile descend d'un mouvement uniformément accéléré ; x devient nul lorsque t = ^^-^, d'où il suit que le mobile viet à descendre le même temps qu'à laoniev. Ajoutons, ce qui est évident sur l'équation (0), que sa vitesse quand il revient au point de départ est égale à — «„, c'est-ît-dire à la vitesse au départ changée de signe.
3° Il résulte du reste de l'équation (3) et des propriétés du trinôme du second degré qu'il y a deux valeurs de ( pour lesquelles Vabsoisse a; est la même, pourvu qu'elle soit inférieure
DYNAlilOL'i;
' maximum -
ces deux valeurs de i
distantes de la demi-somme,
des racines. On voiL donc
que le mobile passe deux fois par toute position M située entre le sol et le point le plus élevé A ; on voit de plus que le temps i[u'il emploie pour aller de M en A. en montant est égal au temps employé pour descendre de A en M ; on voit enlin, en se reportant k l'équation (6), que les vitesses du mobile au moment de ses deux passages en un point M sont égales et de signes contraires, puisque les valeurs de i qui correspondent à ces deux passages sont équidistanics de — ■
291. Problème l\. ^ Ji'hiili/-r h- vwuwmenl d'un point mnlénel pesant lancfi di'ii^ mip iiu-rrlii,n donné- avi:c l'in: vHcxsn initiale (hmnik.
Soient le point de départ fvt OA la direction donnée ; appelons a l'angle que cette direction fait avec sa projection sur un plan horizontal et soit «o la vitesse initiale du mobile. Comme la pesanteur agit dans le plan vertical qui contient OA, le point matériel ne sortira pas de ce plan vertical. Rapportons donc le mouvement à deux axes rectangulaires situés dans ce plan, savoir:
la verticale j/Oy' et la perpendiculaire x(\;sf .
Prenonsdureste comme — ^ direction des abscisses "^ positives celle qui fait l'angle aigu a avec la direction OA, cï pour direction positive des ordonnées la direction de la verticale qui est dirigée vers le haut. Soit enfui g l'accélération coumjuni-- <]uée par la pesanteur au point matériel.
Cela posé, le mouvement de co point peut être considéré ni de doux mouvements : 1° un mouvement
ci[AinTKE m i2'.\
uniforme suivant la direction 0.\ avec la vitesse t\ ; 2" un mouvement uniformément varié suivant la verticale s'effectuant en sens contraire dés ordonnées positives et par suite avec l'accélération — (/.
En vertu du premier mouvement, l'espace parcouru iiar If mobile sur OA serait, au bout du temps /,
(1) ? = vj;
en vertu du second, l'espace parcouru suivaul la \erticalfi serait, au bout du môme temps,
Puisque ie mouvement résuite de la composition de ces mouvements, laposition du mobile au temps ( sera définie par les équations simultanées (l) et (2). Ces équations donnent en réalité les coordonnées du mobile rapporté aux axes OA et Û!/ ; il en résulte que ses coordonnées par rapport aux axes Oa; et 0;/ sont
Ces équations définissent la trajectoire et iloiiniMit toutes Uji circonstances du mouvement,
Equation et forme da lu tm/ecloire. — Cherchons d'abord Téquation et la nature de la trajectoire. L'équation s'obtient en éliminant l entre les équations (3), ce qui donne
(*) ■'' = »*— 2;;îW-.'
d'où il suil que la trajectoire est une parabole dont l"a.\e est vertical et dirigé vers le bas, puisque le coeflicient de .c^ est négatif.
Viletse en un puinl. — Ëtudions maintenant la loi des vitesses. Les composantes de la vitesse à un instant donné / sont, en vertu des équations (3),
(5) v^ = l'f, ces K,
(6) f, -«, sin^-y^
yGoosle
230 oïSAjiiQiiE
v^ et v,j désignant les composantes respectives suivant Oa: ot Oij. Il résulte de ces équations que la vitesse horizontale est constante et que la vitesse verticale diminue quand le temps augmente. Cette dernière composante est nulle lorsque
t ~ — 1 et alors la vitesse se réduit à sa composante
horizontale, c'est-à-dire que la tangente à la trajectoire est horizontale. La position correspondante du mobile s'obtient en remplaçant / par " ' dans les équations [',]], co qui
Ces équations définissent évidemment le sommet B de l;i parabole décrite par le point matériel ; elles montrent en particulier que l'élévation ;/ du sommet au-dessus du plan horizontal est égale à la hauteur qu'atteint un mobile lancé verticalement suivant Oij avec la vitesse initiale v^ sin a.
Revenant maintenant aux équations (5) et (6) on voit que t'^ prend des valeurs égales et de signes contraires pour les
valeurs de ( équidistantesde — ; comme la composante
horizontale de la vitesse est constante, aux points correspondants de la trajectoire les tangentes sont également inclinées sur l'axe des a;. Ces points sont symétriques par rapport à l'axo de la parabole; car, en vertu de la deuxième équation (3), y prend des valeurs égales quand on donne à I des valeurs équidistantes de —
Enfin le carré de la valeur nunuSrique de la vitesse s'obtient en faisant la somme des carrés des équations (3) et (6), ce qui donne
v^ — r* ~ 2w„3/ sin a + rj^l^,
c'est-à-dire, en comparant avec la valeur de y fournie par les équations (3),
CIIAI'ITIIE 111 231
H en résulte quR la vitesse est luinimum lorsque y est luaxiraum, c'est-à-dire quand le point est au sommet de la parabole; la valeur minimum d'ailleurs déjii obtenue est '.'o cos a. Ainsi, quand le mobile se déplace depuis le point jusqu'au sommet B, la vitesse décroit depuis i\ jusqu'à uocoaa; elle croît ensuite et croîtrait indéfiniment si le mobile n'était pas arrêté par le sol.
Amplitude du jet. — On appelle ainsi l'abscisse du point C où le projectile frappe le sol; on l'obtient en faisant ij — dans l'équation de la parabole, ce qui donne
On voit, ce qui était du reste évident a priori, qu'elle est double de l'abscisse du sommet. Quand le mobile arrive en C, sa vitesse est égale à la vitesse initiale !>o.
L'amplitude du jet est proportionnelle au carré de la vitesse et dépend en outre de l'angle a. Pour une même vitesse initiale elle est maximum lorsque sin Sa = 1, c'est-à-dire lorsque a =^ 450 ; elle est alors égale à —■
Enfin, elle reste évidemment k même quand on doimc à ^ des valeurs complémentaires.
Direction sinvanf laquelis il faut tance)' le projectile pour attcindi'e un point donné. — Soient a et 6 les coordomiées du point donné ; elles doivent vérifier l'équaîion (i), et par suite les valeurs de a qui définissent la direction cborchée sont fournies par l'équation
= a tg ce
2113 COS° ît
qu'on rami'ue immédiatement à l'équation du second degré on Igc
(8) ga^ tg^ a — iavl tg a + yn^ + %bi>l = 0.
Parabole de sûreté. — Pour que les racines de celte équation
soient réelles, il faut que la condition
(9) v',-.j[rja^-^-2bvl]>0
yGoosle
232 iiv.SA.iuQUE
soit remplie ; or, si l'on y regarde a et 6 comme des courdomiées courantes, le premier membre de cette inégalité égalé à zéro représente une parabole dont le sommet, aiLwé sur l'axe des »/ a pour ordonnée ^i dootle foyer est l'origine et dont
par suite le paramètre est — ■ L'inégalité signifie alors que le point donné doit ôtre situé à l'intérieur de la parabole représentée par réqualion
Cette parabole est appelée paraliuk de sûreté. Elle est évidemmenl l'enveloppe des trajectoires quand on fait varier l'angle ï, en laissant la vitesse initiale constante, et. quand le point est sur la parabole de sûreté l'équation (8) a ses racines égales, de sorte qu'il y a une seule trajectoire passant par le point donné Vi, !>)• H y en a deux quand ce point est à l'intérieur de la parabole de sûreté, et il n'y en a aucune dans le cas contraire.
Lorsque le point est à l'intérieur de la parabole de sûreté, cbaCune des deux trajectoires qui passent par ce point peut le rencontrer soit en montant soit en descendant. Pour distinguer ces deux cas l'un de l'autre il suffit de comparer l'abscisse " du point donné îi celle du sommet de la trajectoire et qui est donnée par la première équation (7).
Soit a' l'abscisse du sommet ; si l'on a «' < «, la rencontre a lieu en descendant; dans le cas contraire, la rencontre a lieu en montant.
Formons donc l'équation du second degré dont les racines
senties abscisses des sommets des deux trajectoires qui pas-
■ sent par le point donné {a, b). Il suffit, pour cela, d'éliminer a
entre l'équation (8) et la première équation (7). Or,lay)roiiiiôre
équation (7) peut s'écrire
vl sin 2i '' ^ 2-7 ' ■et réciuation (8) donne
, , ...... ^^'Stalg — i)
on
Cette donne
'2.{a tg a — /,) équation permet île calculer /f/ï
foncii
Pour avoir i'équation cherclK^e, il suffit maintenant de i)orter cette valeur de tg 3 dans l'expression de iH-fy^a. On obtient ainsi successivement
2u3 [ labx "I
iM--
\^x-af - fja'\a{^x-a
et, fmaiement,
(iO) 4(a. + *-).--to(a- + ^). + <..(..+?^) =
On s'assure sans peine que cotte équation (10) a ses racines réelles lorsque l'inégalité (9) est satisfaite, c'est-à-dire lorsque' le point (a, b) est intôrieiiriila parabole de sûreté. 11 nous reste alors à comparer a aux racines de cette équation, supposées réelles. Pour cela, remplaçons a: par a dans l'équation (10) el étudions le signe do résultat de la substitution. On voit . facilement que ce signe est le môme que celui de l'expression
R = «2 -i- 46^ — Remplaçons dans cette expression (/
par j.-, Il par ij et égalons ù zéro ; nous obtenons ainsi l'équation d'une ellipse,
(il) a'= + 4//^!^,, ::.0,
qui passe it l'origine, qui admet l'axe des x pour tangente en ce point, dont l'axe des y est un axe de symétrie et dont, p^usuite, deux sommets sont : l'orijiiiie et le point do Di/ qui a pour ordonnée
obtenue en faisant r = flans TéquaLion (H), c'est-ïi-dire le sommet de la parabole de sûreté; de sorte que la parabole et l'ellipse occupent les positions relatives indiquées par la figure ci-dessous. Si le point («, li) est intérieur à cette ellipse, le résultat R de la substituiion est négatif; il est positif dans le cas contraire.
Dans le premier cas une seule racine do l'éqnation (iO) est plus petite que a, car le coeflîcicnt de x^ dans cette équation est positif; donc le point, sera rencontré on montant, par une trajectoire, et en descendant par l'autre.
Dans le second cas les deux racines de l'équation (10) sont ou toutes deux inférieures a n, on toutes deux supérieures à a. En exprimant fine n est supériem' à la demi-somme dos raoi-
Mais cette inégalili
51 S écrire
Son^ celle forme il est clair qu'elle est une conséquence de riiypf>nii:'so r > O; donc les racines de l'équation (10) sont touïes lieux inférieures îi « et les doux trajectoires nmcunlriiut il' point en descendant. Ainsi , si le point est compris entre l'ellipse et la parabole de sfirelé, il est rencontre les deux fois en descendant.
cuAi'iTiiii: m 235
292. l'i-oblème V. — MonvriiMii d'un povil mal&rinl ppxnnt mr nn plan incliné, en né-jliiji-.mi h frotlmnani d ta ,'iUhiancf, du l'air.
Proposons-nous enfin, comme dernier problème, d'étudier le mouvement d'un point mïitdriel pesant sur un plan incliné faisant l'angle a avec l'horizon. Soit AB la ligne de plus grande pente du plan incliné et soit P le poids du point matériel de masse m. On peut décomposer le poids P on deux forces : K, dirigée suivant la normale et détruite par la résistance du plan, et p, dirigée suivant la ligne de plus grande pente. C'est cette dernière force qui produit le mouvement, et elle est égale à P sin a ; comme elle est constante, le mouvement est uniformément varié, si l'on suppose bien entendu que la vitesse initiale soit nulle ou dirigée suivant AB.
L'accélération du mouvement est égale à ~ ou à — sma ;
P mais on a — =^ (/ ; donc l'accélération v du mouvement
m ■' est égale à 3 sin a. Si donc on suppose l'espace parcouru positif de B vers A, les formules du mouvement sont
X = x„ + vJ^— ai' sma, u 2 ^
V — Vit^yl sin a.
On voit par là que l'emploi du plan incliné permet de diminuer l'accélération du mouvement sans changer la nature de celui-ci.
Supposons que le mobile parte du point B sans vitesse initiale et comptons x k partir de ce point. Les deux formules 9 deviennent alors
l'on élimine le le)npii, elles donnent
230 DYNAuinri:
Supposons que l'espace parcouru soil égal à BA et appelons h le cOté BC du triangle rectangle ABC, c'est-à-dire ce qu'on est convenu d'appeler la hnnleur du plan incliné. On a alors
/i = AI! Bill I, et l'expression du carré de la viieaso devient ,■ = 2s*.
Il suit de Vu que la vitesse au point A est indépendante de l'inclinaison du plan et ne dépend que de sa hauteur. Cela revient à dire, évidemment, que si on laisse tomber du même point plusieurs points pesants, sans vitesse initiale, tous ces points ont la même vitesse quand ils arrivent sur le jnL'me plan horizontal, en suivant dos droites différentes OA, OB, OC, ... Us ne mettent pas le mCme temps pour descendre le long de ces droites, et il est aisé de prouver que leur lieu géométrique, au même instant, est une sphère ayant un diamètre vertical et passant par le point 0.
Supposons en effet qu'on en laisse d'abord tomber un suivant la verticale Oï ; au bout
du temps t il aura parcouru un chemin 01 = -^gt^, puisque la Yitosse initiale est nulle. Imaginons maintenant qu'on en livisse tomber un autre, sans viles.'ie initiale également, suivanl. une droite Ou faisant l'angle a avec l'horizon ; l'espace parcouru par cet autre mobile sera niainte- -(jl^ sin a ou 01 sin a ; ce qui montre que le point M n'est autre chose que la projection du point I sur Ou ei, par consétiuoiiU que le point M est suv \a sphère de diamètre 01.
nant OM =
yGoosle
