CHAPITRE IV TRAVAIL ET FORCE VIVE
2113. Notion ilu iravail des lorces. — Lorsqu'on 61f;vc un fardeau, on travaille ; on admet que le travail accompli est proportionnel au poids et à l'ôlévation du fardeau, par suite proportionnel au produit de ces éléments. Si, pour faciliter le travail, au lieu d'élever verticalement le fardeau, on l'élève à ia même hauteur sur un plan incliné, on admet que le travail ne change pas. De môme dans tous les travaux de manœuvre où des éléments étrang;ers, intelligence, insalubrité, etc. n'interviennent pas, on paye le travail proportionnellement au produit de la force surmonlée par le chemin parcouru dans la direction de cette force.
De là la définition suiviiiiie :
2i)4. nétiiiition du t:
d'application et c force :
— On appelle travail d'une fora; c'indanifyeii grandeur et eu dîrec- Ihin lavaleuralijéhr'iqui'du'pi'i>dinl lie celle force par la piriji'cliin) , sur sa direciion, du déptacemeiil de um point d'application.
Soient d'après cela AF laforco, .\A.' le déplacement de son point a projection du A' sur la direciion de i;i
Travail Y = M'. An'.
Le produil AF.A«' est d'aillCTirs positif ou négatif selon
(lue les vecteurs AF et A«' sont de môme sens ou de sens
conU'ïiii'es. Dans le premier eus le travail est dit iiiotcar ; il est
dit rêsislani dans le second.
A et B ; mais ai Cendant, avait u
22ii DÏ.NAJIIQDE
293, ExEîii'LE. — Considérons un point matériel pesant, de poids P ; soient AB la trajectoire, 3'; la direction de la pesanteur, que nous prendrons comme direction positive des projections sur la verticale. Si le point matériel descend depuis le point A jus(n\'au point B, la projection du chemin parcouru peut être représentée en grandeur et sens par le vecteur ah ; le travail sera donc égal à P X vecteur ab. Ici le vecteur aO est égal il la distance verticale des points il le mobile, au lieu d'avoir un mouvement dcs- 1 mouvement ascendant, ie vecteur ab serait égal à cette même distance précédée du signe — .
Ainsiy le travail de la pesa»Uu7- est égal au poids mi.iUi-pliipar ta distance ve^'ticale positice ou négative dit point de déport du mobile axipoini d'arrivée.
296, Unités de b-avatl. — iJ'aprùs cela, si P est le poids d'un point matériel et /( la distance verticale positive ou négative du point de départ au point d'arrivée, et si l'on désignr par tSi.P le travad du poids P, on a Et.P---P,/*.
Si dans cette Tommlc on fait P =^1, h — i, il vK."iî E»,P =r. l ,
Si donc on prend pour unité, de force le kilogramme et pour unité de longueur le mètre, Tunité de travail est le travail de la pesanteur dans la chute de i mètre du poids de 1 kilogramme, ou, ce qui revient au môme, le travail qu'il l'aut dispenser pour élever de 1 môtre le poids de 1 kilogramme. Ce travail porte le nom ^de kiiof/rammèù-e, rappelant les unités, Ivilogramme etraètre. Par exemple, si P = Hkg et h :~ -i \\\. on a
St.P = ii kilogrammètres.
Dans le système C. G. S. Vunité de travail sera, naturelle ment, le travail de l'imité de force pour un déplacement égal
ClIAl'lTIiE IV 2.19
à l'imité de longueur, e'est-à-dire le travail d'une dyiic puur un déplacement d'un centimètre. On l'appelle Veri/.
297. Évaluation du kilo gramme tre en ei^a. — Comme exercice, proposons-nous d'évaluer le kilogrammètre en urgs , Le poids d'un gramme-masse est 980,96 dynes ou
9,8096 X 10^ dynes ; le poids du kilogrammètre est donc
9,8096 X 10" dynes.
L'unité étant le centimètre, pour avoir la valeur du kilogrammètre en ergs, il faudra multiplier par 100 le poids exprimé en dynes, ce qui donne
9,8096 X iO'' ergs.
On appelle inegerg une unité secondaire de travail équivalente à 1 000 000 d'ergs.
On voit donc que le kilogrammètre vaut environ 100 mci;ergs.
298. Expression algëbi'ique tlu travail d'une ïorce coustante. — Nous avons vu que si AA' est le déplacement d'un
, point matériel sous l'action d'une
j^ force F, constante en grandi'ur et eu
l'\ direction, on a
/ J St.F = FXAa',
. //i Au' désignant la projection de AA.' sur
— y ^, -p la direction de la force. Or, on a évi-
demment Aa' = AA'cos(AA', F) ; donc
S». F = F.AA'. cos (AA', F), ce qui conduit ii la nouvelle dclinition suivante du iravail d'une force :
On afpeilc travail d'une foret; constant': en grand'-in' ri en direction, le produit de laforcepar la corde du chemin pnrcoufu et par le cosiints de leur angle.
Mais on peut encore écrire
St. F = AA'.i- cos (AA, F),
yGoosle
240 d\7s'a.utq[;e
c'est-à-dire 6t. F = AA'. jiroj, de F sur AA'. 11 en résulte que l'on peut appeler travail d'une force conslaulo en gTaiideur et en direction, le jirodwl de la corde du chanin parcouru par la projection de la force sur cette corde.
De ces diverses définitions, il suit que le travail est nul, soit lorsque la force est nulle, soit lorsque la direction de la force est nomiale à la corde du déplacement.
299. Travail de la résultanLi: de plusieure foi'ces concourantes. — Tliéorème. — Lorsque plusieurs forces constantes en fp-aiideur el en direction sont appliquées au ménix point matériel, Ir tmvaU de leur résultante pinir im- déplacement quelconque est „ étjal à la somme algébrique des travaux
dei composantes pour le même déplacement.
Soit en effet F,, Fj, ,.., V„ un système de foirces constantes en grandeur et en direction, agissant sur le mâmo point matériel A et communiquant a ce point un déplacement quelconque de corde AB ; soit R la résultante de ces forces. 11 s'agit de prouver que
ro^.R= S^. Ff, c'est-à-dire que
AB X proj. R sur AB = 5AB X proj. F,- sur AB. Mais AB est en facteur dans la somme qui ligure au second membre ; comme il est aussi en facteur dans le premier, on peut le sirpprimerde part et d'autre, et il reste àprouver qu'en projetant sur AB on a
proj. R =: i'proj. Fj, c'est-à-dire que la projection de la résultante est égale îi lu somme des projections des composantes. Mais ceci résulte ds ce que la résultante est la somme géométrique dos <:om])osantes, et du théorème dos projections,
300. Travail de la pesanteiu- dans le mouvement d'un corps pesant. — Nous considérerons un corps pesant de poids P comme un ensemble de points matériels pesants, et nous
allons montrer que le iraoail de lu fesanleur sur vn .'i'/xii'-Dn- <li' ■points matériels qui subit un dilplacsment, estétjalu" poidu lui ni fiupposé appliqué au centre de r/ravilé du sijStÈine.
P011P cela, appelons Si, 2j, ... les cotes positives ou négatives des points du système, par rapport à un plan horizontal H, dans ia position initiale du corps ; appelons de môme Z,, Z,, ... leurs cotes, par rajijiort au même plan H, dans une deuxième position du corps . Le travail de la pesanteiir sur un point quelconque du système, de poids p;, quand le système passe de la première ii la deuxième position, pour losquelles les cotes respectives du point sont ;, et Z^, est
Si donc on appelle T la somme de tous les travaux analogues, on a T = S7J,(S;-Z,.),
c'est-îi-dire T = '^pfii — SpjZ;,
le signe S s'étendant d'ailleurs à tous les points du syslètne. Or, soient i et Z les cotes, par rapport au pian 11, du ccnlin de gravité du système dans la première et dans la deuxièum position ; en vertu du théorème des moments des forces jja-
ce qui démontre la proposition.
:{0i . Extension anx forces vai'ialiles de la uotiou du Cravail ; travail élémeafâii-e. — Supposons qu'un point matériel soit en mouvement sous l'action d'une force variable en jïrandeur et en direction ; soit AB un déplaccmtini quelconque de ce point. Partageons AB en parUesinflniment petites AA,, A, A,,..., qu'on peut considérer comme confondues avec leurs cordes respectives ; on peut admeltre que, pendant que le point parcourt l'ime quelconque de ces parties, la force demeure constante en grandeur et en direction. Soit
rallèles par rapport à r
m plan, on a
S?),-;, T^ Pz,
^p-Ai = PZ.
Il en résulte Ï/Jjï
i-SM = P(^-
c'est-à-dire
2i2 DÏNAÏIIQUE
alors F la force quand le point parcourt l'une quclcon((uc do ces parties PQ ; on aura, pour co déplacement,
Çt. F = F.PQ. cos(F, PQ):
co travail s'appelle le travail 'Uhncnlaife de la force vaiiabli' (iour le déplacement infiniment petit PQ.
A chaque élément analogue à PQ i! correspond ain^ii un (ralail êlénieniaire qui tend vers Kéro en môme temps que PQ : on appelle travail lolal de la force variable pour le déplacement AB la limite de la somme algébriqvie de ses travaux élémentaires correspondant aux divers éléments iiifmimont petits en lesquels l'arc AH a été partagé. On prouvera plus loin (306) que cette somme tend vers uno limite ; pour le moment nous l'admettrons.
302. RuMAHQUES. — 1° L'expression du travail élérneniairc peut encore se mettre sous l'une des formes suivantes ;
r. proj. PQsurF,
PQ. proj. F sur PQ, que l'on énonce facilement en langage ordinaire.
2" Le travail Élémentaire est nul, soit quand la force est nulle, soit quand sa direction est noi'maîe au déplacement.
303. Applications. — 1" Supposons d'abord que la l'orcc: soit constante en grandeur et en direction et appelons T son Iravail total pour le déplacement AB, et considéré comme somme des travaux élémevilaires ; on aura
T = LT.proj. PQ sur F.
Mais F étant constante, on jteuî )a mettre en racteur diuis le second membre, et l'on a
T = F.Sproj.PQ sur F. Or, S proj. PQ sur F = proj. AB sur F ;
donc T = F. proj, Ali sur F.
A'ous retrouvons ainsi, comme .cela était à prévoir, ia délinilion de laquelle nous sommes partis, -i" Supposons en second lieu que la force soit constante en
grandeur et rcsteconstammciittangeiilG à la trajecloire ; alovs proj. PQ sur F est égale à PQ et, en mettant encore F en facteur dans la somme, on a
T = F.SPQ = F.AB.
Dans ce cas le travail total est donc égal au produit delà force par le chemin parcouru par son point d'application.
3° Supposons enfin que la force soit constante en grandeur mais fasse un angle constant avec la tangente à la trajectoire ; en raisonnant comme dans les cas précédents et en appelant x cet angle, on verra facilement que la travail total est égal au produit de la force pai' le chemin parcouru et par eos a.
304. Théorème. — La travail total de la ràsidlanta d'un ïvy.'.-- Iiime dp, foi-ces appliquées à wi point matériel, et povr -un déplacernent quelconque de ce powt, est égal d la somme afgéhnqiir des travaux des composantes pour le même déplacement.
La démonstration rigoureuse de cette proposition exigerait ries développements qui ne seraient pas à leur place ici ; novis nous contenterons donc de l'avoir énoncée.
305. Déllnitlott delà Jorcevlve. — On appelle /'oycy (;R'P,ùim instant donné, (l'un pomt matériel en mouvement, la moitié du produit de la masse par le carré de la vitesse à, cet instant. Si m est la niasse du pomt et v sa vitesse à l'instant considéré,
l'cxpre-'Mon de îa foice vive est — mv^.
306. Théorème desiorces vives. — l.a varialiua de la forcivive d'un point matériel, pendant un temps quelconque, est éi/ale d la somma des travaxix des forces qui agissent sur ce point, pendant h même temps.
Le travail de la résultante d'un système de forces appliquées au même point matériel étant égal à la somme des travaux des composantes, il suffira de démontrer la proposition dans le cas où le point n'est soumis qu'à l'aclion d'irne seule force.
Nous distinguerons d'aîlîeiu's trois cas :
1" Ln fui-a' i-s:l i:o:nUnUi: r,i ^irnndcur el en direr/ioii et lidéplaC'-iïirnl i< lu iiléili'' llirrrlh,,, if'C la foYcn, — Diuis cc ca^ le
mouvement est uniformément varié, et si l'on appelle res- Ijectivement x, v^ et v l'espaec parcoura pendant le temps (, la vitesse initiale et l'accélération, on a
D'autre part, si l'on appelle m la masse du point matériel, F la force qui agit sur ce point et « la vitesse à, l'instant /,on a (2) P = m-j.
Pour quiï y ait égalité entre la variation de force vive de l'instant zéro h l'instant i et le travail iiccompli pendant h; temps /, il faiitque l'on ait
c'est-à-dire
ce (pli est évident.
2° La force est constante en grandeur itl ru diiyrhint, "mihs fnii
im anijlc a avec la direction du dèplacemeii I /çi.ijipii,w rrciilifinr.
— Dans ce cas le travail aecumpli par une force F, pour un
déplacement x de son point d'ap-
^ — r— a/ — plioation, est égal à
((,1 — -^P n ;mtrc part, la force F qiiiagit sui
le point matériel M peut être décomposée en deux : l'une, f, dirigée suivant la trajectoire x'x et l'autre, o, normale à la trajectoire. La force f est la seule qui produise le mouvement, car la force o est détruite par la résistance de la ligne x'x sur laquelle le mohile est assujetti à rester; mais on a
f = l' cos a, de sorte que la force /' est constante et communique an point un mouvement uniformément varié. Enfin l'expression du travail do la force F montre que ce travail est le même que cckii de la force / ; par conséquent nous sommes ramenés h prouve)' que la variation de la force vive du point M, qui se déplace
cuAriTiiE IV 24ï>'
dans la direction de la force f, sous l'action de ceflo foiee, est égale au travail accompli par la force f, ce qui a été prouvé dans le premier cas.
3" La force ni quelconque aimi que le déplacemciil. — Soit AB le déplacement du point d'application pendant le temps t, de l'instant zéro k l'instant (, par exemple. Appelons v^ la vitesse au point A, v la vitesse au point B et m la masse du point ; puis partageons l'arc AB en n parties, AA,, A, As, . , . assez petites pour qu'on puisse les considérer comme confondues avec les cordes correspondantes et pour que l'on puisse, en outre, considérer la force comme constante^ pendant que son point d'application parcourt l'une quelconque de ces parties. Appelons ui, v^, . . .,v„ les vitesses respectives du mobile aux points Ai, A3, . . ., A„ de sa trajectoire et ï,,, Ti, . , . , T„ les travaux élémentaires pour les déplacements respectifs AAi, AiA^, ...,A„B. Puisque nous supposons la force constante pendant que le point matériel parcourt l'arc AAi, et puisque nous supposons de plus l'arc AAj confondu avec sa corde, on a, en vertu du second cas,
Mais on a aussi, pour les mémos raisons,
Si donc on appelle T le travail total, c'est-à-dire la somme
T(|-|-Ti-I 1- ï.i, et si l'on ajoute ces égalités membre à
membre, on a, après réduction,
âtfi DYISAJIKJtE
ce qui démontre la proposition et ce qui prouve, en même temps, que la somme des travaux élémentaires a une limite égale k '^-"-^^
307. Enoncé du thèovènie géuèL'al des forces viAes. — La |)roposition précédente, que nous avons démontrée pour une force, n'est qu'un cas particulier d'une loi plus générale que nous ne pouvons démonlter ici et qu'on peut énoncer de la manière suivante :
Lorsque des forces eu nnmhn; qiiehonqvi! agissent sur tni sijslùme do points matériels, la variation de la soininu des forces vives de tous les points du système pendant un certain temps, eut égale à la somme des travaux de toutes les forces qui agissent sur les points du sijslème pendant te même temps.
C'est en cela que consiste le théorème général des forces vives. Nous nous bornerons ;■! l'avoir énoncé et à remarquer que, si on l'applique à un corps gêné, il n'est pas nécessaire ■d'introduire les forces de réaction, parce que la somme des travaux de ces forces est évidemment nulle. En effet, à toute force de réaction R appliquée on un point A, il correspond une force R' égale et opposée ii H, appliquée au même jioint ; par conséquent pour im déplacement du point A, les deux, forces R et R' donnent deux travaux égaux et de signes contrairesj et dont, par suite, la somme est nulle.
308. Application I, — Supposons qu'un point matériel j)e~ sant de poids p soit lancé de bas en haut, sur la verticale d'un point A, avec une vitesse initiale Uq. Soient A le point de départ et M le point le plus élevé de sa course. Le travail accompli pour aller de A en M et pour revenir de M en A est nul, prrisque le point de départ et le point d'arrivée sont confondus ; si donc t' est la vitesse du mobile quiuid il revient au point ,V, on a, d'après le théorème des forces vives,
c'est-à-dire enfin o — — v^.
3U0. Appiicaiion II. — Supposons qu'un point matériel tle poids p se déplace, sous l'action de sonpoids, sur une courbe (C), depuis le point A jtiaqu'au point B, Appelons «o la vitesse au point A, V la vitesse au point B, m la masse du point et h la distance verticale des deux, points A et li. Le travail accompli pur le poids /', pour aller de A en B, est égal h ph ; par conséquent l'applicalion du théorème des forces vives donne
— [mvr' — mvX) = ph.
Mais on a p ~ "if/ ;
donc, après réducUon,
Si en particulier Uu :^ û, ou a
V =: ^fh,
et nous retrouvons ainsi un résultat plus général ipie celui qui a été obtenu dans le cas particulier du plan incliné et que nous avons énoncé ainsi :
Si des mobiles pp.sanU descendent sans vilesse wil'uih: h: lomj du différents plans incliniis issus du même point, les vilesxes qu'ils possèdent quand ils arrivent sur le même plan horizontal sont toutes égales à </^i, h désignant la distance verticale du point de départ au plan borizontal considéré.
310. Appllcattoa llï. — Un projectile du poids p iKqaii:rl, au sortir d'une arme à feu de longueur î, une vitesse v : on demande la force de la poudre, en supposant qu'elle agisse d'une inaniêre constante pendant que le jn-ajr,ctile resta dans Varmc.
Soit F la force chercbée et sous l'action de laquelle le projectile parcourt la longueur l. Le travail accompli par la force F pour ce déplacement est égal à F.?; d'autre part, la vitesse initiale étantnuUe, le travail est égal à la force vive ;iu
jics
forces Yivi
et
limitle; durée d'une petite oscillation. —
Commi! dernière applicalioii, supposons qu'un point maférie! pesant, assujetti & rester sur une courbe (C), (C) soitabantlonnéàlxii-tnêinc, o'est-à-din^
siuis viUi'^si.i iiiitiiile, en un point A; il remontera jusiiu'aii |Kiin( \: sur lu nn^mc plan horizontal que le point A.
En eflet, il ne s'arrftte que lorsque la vitesse devient nulle; 01-, si l'on appelle h la distance verticale du point de départ au jKiint d'arrivée, on a i: — \jtijh ; si donc d = 0, on a /i = 0.
C'est ce qui arrive dans le cas du pendule simple. i>;iiis re cas la courbe (C) esl un arc de cercle ayant pour centre li> point rie suspension du pendule et dont le rayon est égal fi la ioji;.a\eur / du pendule. Le résultat que nous venons d'obtenir signilie alors que les oscillations ont la même amplitude de part et d'autre de la verticale du point de suspension.
Proposons-nous de calculer la durée d'une petite oscillation. Pour cela, appelons A la |>osilion initiale du pendule correspondant à l'angle d'écart oo, et B une position quelconque définie par l'angle d'écart «. Si l'on appelle h la dislance verticale des deux points A et li (A'B' sur la figiire ci-aprcs), la vitesse au point B est donnée iiar la formule
(i[;iLigl(;s OAA' et OBB' doiineiU OM = l cos \, OB' ^ / cos ï ; ua on déduit
OR' — OA' = h = Kcos î -— cos :cj ol, p;ii- suite,
ï! = h/igllcos a — cos Hj,)- Lorsque les angles d'écart Hont U'ès petits, on peut poser
ce qui permet d'écrire
Poiir déduire de là la durée d'une petite oscillation, nous rappellerons que si un corps de masse in se déplace sur une droite sous l'action d'une force attractive proportionnelle à la distance, et parcom-t un chemin h partir du point où sa vitesse est nulle, on a (284)
(2) X ~ a cos l\Œ,
en supposant que la force soit égale à — mk.v, que x désigne l'abscisse du moJnle ii l'instant ( et enfin que " soit son abscisse il l'instant où sa vitesse est nulle. Il en résulte que la vitese à l'instant ( est donnée par la formule
et l'on en déduit successivement
= aVr S
U{ïï^
Celte formule devic dans celle-ci
identique à la formule
250 dï^amiqbt:
Mais dans le mouvement défini par l'i^quation (2), la durée
d'une oscillation est -7^;; donc la durée d'une petite oscilla-
tion du pendule simple est
