Equations du mouvement uniformément varié. — On a
Or:
par conséquent :
d'où:
ds
ds , .
Mais, pour ^ = 0, on a 5 = ^o,* par suite, c « s^, et il vient :
Fig. 6.
On conclut de là que la courbe des espaces est une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des ordonnées. La ligne des vitesses est une ligne droite.
Il faut bien observer que la trajectoire, c'est-à-dire la ligne décrite par le point mobile, peut être une ligne droite ou une ligne courbe.
24. Remarque. — De ce que l'accélération dans le mouvement uniformément varié est la quantité constante
dont la vitesse varie dans l'unité de temps, on conclut que l'on obtiendra l'accélération par une construction analogue à celle qui nous a servi à déterminer la vitesse dans le mouvement uniforme (n** 13). Ainsi, AB étant la ligne des vitesses (flg. 6), on mènera par un point C quelconque de cette droite une parallèle CD à ot, et égale à la ligne qui représente l'unité de temps. Puis, par le point D, on mène DE parallèle à ov : la longueur DE sera l'accélération cherchée.
25. Propriétés du mouvement uniformément varié. — Les équations de ce mouvement sont :
S-^So + Vot+^ (ft\
t? «= t^o + (ft.
La première équation nous donne :
^=t-o + icp^.
Or, — T— ^ est la vitesse moyenne du mobile pendant
le temps t : c'est la vitesse que le mobile devrait avoir pour parcourir d'un mouvement uniforme l'espace s — s^ pendant le temps t. Cette vitesse moyenne a, comme on le voit, pour expression v^ + l^f, c'est-à-dire qu'elle est égale à la vitesse réelle qui a lieu au milieu du temps t.
Donc, dans le mouvement uniformément varié, la vitesse moyenne pendant un certain temps t quelconque, est égale à la vitesse réelle du mobile au milieu de cet intervalle.
En remplaçant 9 par sa valeur tirée de la deuxième équation (1), il vient :
s — Se, v + v,
lo^'" ' "0,
Donc, dans le mouvement uniformément varié, la vitesse moyenne pendant un intervalle de temps quelconque est égale à la moyenne des vitesses que le mobile possède au commencement et à la fin de cet intervalle.
En éliminant t entre les deux équations (1), on a :
Donc, la demi différence des carrés des vitesses prises pour deux positions quelconques^ est égale au produit de Vaccélération par le chemin parcouru dans cet intervalle.
26, Remarque. — Les équations du mouvement uniformément varié se simplifient, lorsque l'on compte le temps à partir de l'instant où la vitesse v^ est nulle, et les espaces à partir de la position que le mobile occupe à cet instant.
On a alors pour ^ =» o, ^^ == o, et s^ — o.
Par suite,
V = (ft.
De la première de ces équations on tire, pour ^ =« 1
Donc, Vaccélération cp est égale au double du chemin parcouru par le Mobile pendant la première seconde du mouvement.
Chute des corps.
27. Les formules du mouvement uniformément varié servent à résoudre tous les problèmes relatifs au mouvement vertical des corps pesants dans le vide.
L'expérience nous apprend que, quand on laisse tomber un corps dans le vide, la pesanteur lui communique en une seconde une vitesse de 9°',8088, si l'observation est faite à la latitude de Paris. On représente ce nombre par g : c'est l'accroissement de vitesse pendant chaque seconde.
CTest donc l'accélération due à la pesanteur. Cette accélération étant constante, le mouvement est uniformément varié. Par conséquent, les formules du mouvement vertical des corps pesants dans le vide s'obtiennent en remplaçant (p par g dans les formules du mouvement uniformément varié.
Si le corps pari du repos ^ et si l'on compte les distances sur la verticale à partir du point où il commence sa chute, on a :
s = I gtK
Si, au contraire, le corps est lancé de bas en haut, avec une vitesse initiale v^^ le mouvement sera retardé, et nous aurons :
s = v,,t — \gt\
28. Problème. — Calculer la hauteur à laquelle s'élèvera un corps pesant animé d'une vitesse donnée v^, dirigée de bas en haut.
Les formules du mouvement sont :
En faisant î? = o, dans la première formule, on a la durée T de l'ascension ; il vient alors :
d'où :
ff
En substituant dans la seconde formule, on a la hauteur H à laquelle le mobile s'élève :
