CHAPITRE III

Mouvement rectiligne varié. — Accélération.

29. Pour arriver à l'étude du mouvement rectiligne varié en général, considérons d'abord un mouvement rectiligne uniformément varié. L'accélération dans ce mouvement est, comme on sait, la quantité constante dont la vitesse varie dans l'unité de temps.

Pendant le temps infiniment petit dt, la vitesse v s'accroît de çrf^ que l'on appelle la vitesse élémentaire acquise^ correspondant à ce temps infiniment petit. En divisant la vitesse élémentaire acquise par dt, on obtient l'accélération. Ainsi donc, dans ce mouvement, la vitesse a une direction constante^ celle du mouvement : il en est de même de la vitesse élémentaire acquise^ et de Y accélération qui est la vitesse acquise pendant l'unité de temps.

30. Dans un mouvement rectiligne varié en général y le mouvement a une direction constante ; la vitesse a aussi une direction constante, celle du mouvement. La vitesse acquise pendant un temps quelconque aura aussi la même direction. Mais, dans ce mouvement, la vitesse varie en grandeur d'un instant à l'autre d'une manière quelconque ; il en est de même de la vitesse acquise.

D'ailleurs, l'accélération n'est pas constante, puisque le mouvement n'est pas uniformément varié* Mais, à un instant donné, Vaccélération du mouvement rectiligne

varié a une valeur finie et déterminée qui^ si elle demeurait co?istante, transformerait le mouvement rectiligne varié en un mouvement rectiligne uniformément varié. Il résulte de là que, si cp est l'accélération à la fin du temps ty dv la variation de vitesse pendant le temps dt^ on aura :

dv fe= (fdt^

d'où :

dv "f^ dt'

Or, comme on a :

""- dV

il s'ensuit :

On voit que, dans un ynouvement rectiligne varié, Vaccélération à un instant donné est exprimée par la dérivée première de la vitesse par rapport au temps, ou bien par la dérivée seconde de Vespace par rapport au temps. La direction de cette accélération est évidemment celle de la vitesse.

Si donc le mouvement rectiligne varié a pour équation :

s - fit).

nous aurons :

dv d's ^, ,..

31. Remarque. — Le mouvement rectiligne unifor ; mément varié est un cas particulier du mouvement que nous venons d'étudier. On a alors y = const. = a ; par

suite T^r " ^> d'où v ^=^ v^-^- at, ce qui est l'équation du

mouvement uniformément varié (n** 23).

38. Dans le mouvement rectiligne varié quelconque, l'accélération est, en général, une fonction de t, et l'on peut construire la courbe des accélérations définie par une équation de la forme :

33. Proposons-nous maintenant de trouver graphiquement la grandeur de l'accélération dans un mouvement rectiligne varié. Nous avons vu (n^ 24) le moyen de déterminer graphiquement la grandeur de l'accélération dans le cas du mouvement uniformément varié, c'està-dire lorsque la ligne des vitesses est une ligne droite. Si le mouvement rectiligne n'est pas uniformément

varié, la ligne qui représente la loi de variation de la vitesse (courbe des vitesses) n'est plus une ligne droite. Pour déterminer l'accélération de ce mouvement à un instant quelconque, on fera une construction analogue à celle qui a servi à déterminer la vitesse dans un mouvement varié quelconque (n** 18). Soit AB la courbe des viteses, M un point de cette courbe, correspondant au temps t. Menons MN parallèle à ot, et égal à la ligne qui représente l'unité de temps, puis menons NR parallèle à ov. La longueur NR nous donnera l'accélération du mouvement considéré.

Fig. 7.

34. Remarque, — Nous pouvons observer que, dans le mouvement rectiligne varié, la vitesse élémentaire acquise pendant le temps dty est la vitesse infiniment petite dv qui, se composant avec la vitesse v que le mobile possède à la fin du temps t^ donne la vitesse V + dv, de même direction, à la fin du temps t + dt : c'est la vitesse communiquée au mobile pendant le temps infiniment petit dt. L'accélération est le quotient de cette vitesse élémentaire acquise par le temps dt. Cette remarque nous sera utile plus loin (n"" 57).

35. Remarque. — Les valeurs numériques de la vitesse et de l'accélération dépendent uniquement de l'unité de temps et de l'unité de longueur. On peut se demander comment varieraient ces valeurs par un changement dans les unités de temps et de longueur.

Désignons par v' et cp' les valeurs numériques de la vitesse et de l'accélération à un instant t, lorsque l'on prend pour unité de longueur une unité m fois plus grande, et pour unité de temps une unité n fois plus grande. Soient 5' et f les nouveaux nombres qui représentent s et t k partir de l'origine ; nous aurons les deux équations :

d'où :

ds' = —, dt' = —,

et, par conséquent,

, d^ n^ ds n

'^ dC^ m ^ 'di 'm'

On a donc :

dx! = dv.

et, par suite,

, ^^' ^ rft? n^

^ ~dC m * rf^ "^ m * ^"

Ainsi donc, les valeurs numériques cherchées sont données par les formules :

V z= — • -y, cp' = ?.

Problèmes sur les lois du mouvement

rectiligne.

S6. Tous les problèmes que l'on peut se proposer dans l'étude du mouvement rectiligne se réduisent au suivant : connaissant une relation entre deux des quantités ly s, Vj ?, trouver les valeurs des autres.

V On donne : s = f{t).

On en tire :

""-dt

'f- dt'

=rw.

2° On donne :

De la formule i

ds '-dt'"''

tire :

ds =» vdt =

= m dt ;

par conséquent.

+fr{t)dt.

D'autre part, on a :

3^ On donne : ? — f{t).

De la formule «p — -^i on tire :

dv — (fdt = fit) dt\

d'où :

v^v,+fmdt^¥(t).

Connaissant t?, on aura s en fonction de t, au moyen de la formule :

^ = ^0 + A^^' == ^0 + f^(t)dt.

4^ On donne : (f = f{s).

On a donc :

Multipliant les deux membres par 2ds, il vient :

d^s 2ds --rps = 2 f{s) ds ;

d'où, en intégrant :

($)' ^ ""' ^ ^^' + 2ff{s)ds = F (5).

On a ensuite la formule :

Or, V étant connu en fonction de 5, on a :

dt = ^;

d'où :

rf5 / ds

S"" On donne : v^ f{s).

On a :

dv dv ds ^,v ^,x

D'autre part, de la formule :

on tire :

, d£ ds

V ~ fis)'

d'où :

6*" On donne: ? = /'(«^)-

De la formule (p = -^, on tire :

et, de la formule :

ds «= vdt.

on conclut :

s = So+ fvdt = 5o +f

^ vdv

, Aï?)