AN AD
d'où :
AM AM = AN X ^ ou bien -y- — AN -= const.,
quel que soit t.
Puisque le rapport de l'espace au temps est constant, quel que soit t, on en conclut que le mouvement réel du mobile est uniforme, et que sa vitesse est AN ; il est d'ailleurs évident que AN est la diagonale du parallélogramme ADNE, dont AD et AE sont les côtés.
Les deux mouvements suivant kx et Ay sont appelés ^nouvements composants^ et le mouvement suivant AM
est le mouvement résultant, lies vitesses suivant Aœ et Ay sont appelées vitesses composanteSy et la vitesse suivant AM est la vitesse résultante.
On a donc le théorème suivant :
Théorème. — La vitesse du mouvement résultant est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses des mouvements composants.
41. Remarque I. — Un point ne peut avoir qu'un seul mouvement. Quand on considère un point comme animé de deux ou de plusieurs mouvements, c'est une pure opération de l'esprit : cela n'a rien de réel.
Remarque II. — Les mouvements suivant Ay et Aœ sont aussi appelés mouvement relatif et mouvement d'entraînement. Le mouvement réel s'appelle mouvement absolu.
ASi. Passons maintenant à la composition des mouvements et des vitesses quelconques.
Pendant qu'un point mobile décrit la trajectoire AB d'une 7nanière continue, supposons que cette trajectoire
occupe successivement les positions Fig. 10. ^,g.^ A"B"..., à la fin des temps
t\ f... (fig. 10), AB étant la position de cette trajectoire à la fin du temps t.
Soient M, N, P, les positions que le mobile occupe sur la courbe mobile AB aux temps t^ t\ f... A la fin du temps t, le mobile est en M ; au bout du temps t\ il est en N sur sa trajectoire, mais celle-ci est alors en A'B', et, par suite, le point se trouve en réalité en N". De même, à la fin du temps (\ le mobile est en réajité en P", et ainsi de suite. Donc, le mobile décrit dans l'espace la trajectoire MN'P"... qui est la trajectoire absolue du point M.
Le mouvement du point M sur sa trajectoire AB est le mouvement relatifs et le mouvement de cette trajectoire est le mouvement dC entraînement.
43. Nous avons vu que, si un point est animé à la fois de deux mouvements rectilignes et uniformes, la vitesse du mouvement résultant est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses composantes.
Nous nous proposons maintenant de démontrer que, si nous considérons des mouvements quelconques, la vitesse du mouvement absolu (ou vitesse résultante) sera encore représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses des mouvements composants.
Soient AB la trajectoire à la fin du temps t (flg. 11), et A'B' la trajectoire à la fin du temps t' ; M la position
du mobile à la fin du temps t, N' sa position à la fin du temps f. Le mobile décrit l'arc MN' dans le temps f — t =At.
Or, si l'on suppose l'intervalle t' — t infiniment petit, la figure MNN'M' peut être considérée comme un parallélogramme ayant pour côtés MN et MM', et pour diagonale MN'. Par conséquent, le déplacement absolu ou réel MN' est la diagonale du parallélogramme construit sur les déplacements relatif et d'entraînemjent.
Mais, les déplacements infiniment petits MN', MN et MM' sont proportionnels aux vitesses correspondantes ; par conséquent, la vitesse absolue est la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses relative et d'entraînement.
Cette propriété est connue sous le nom de parallélogramme des vitesses. On l'énonce comme suit :
Théorème. — Si un point est animé de deux vitesses j la vitesse résultante est donnée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses composantes.
44. Remarque. — Il résulte de là que si l'on désigne par t?, v' les vitesses composantes et par V la vitesse résultante, nous aurons :
V : t? : t?' = sin (v, v') : sin {v\ V) : sin (V, v). D'autre part, le triangle MAC (flg. 12) nous donne :
V^ = t?2 ^ t?'^ — 2vv' cos MAC ; or :
cos MAC = — cos CA^ =■ — cos (v,v^.
^ * Par suite,
y^ = v^ + v^^ + 2vv' cos (v.v").
45. En particulier, si l'angle {v,v') est droit, c'est-à-dire si les vitesses composantes sont perpendiculaires entre elles, le parallélogramme devient un rectangle, et, si l'on désigne par a l'angle (V, t?), on a :
t? == V cos a, t?' = V sin a,
46. Composition d'un nombre quelconque de mouvements. — Un point étant animé de plusieurs
mouvements, on peut composer ces mouvements en un seul qui sera le mouvement résultant du point considéré.
On peut trouver la vitesse résultante au moyen des vitesses des mouvements composants en appliquant successivement la règle du parallélogramme des vitesses.
Soient AB, AC, AD, AE les vitesses des mouvements composants (fig. 13). On trouve que AF est la résultante
de AB et AC ; AG la résul- ^^s- ^^- tante de AF et AD ; AV la
résultante de AG et AE. Par conséquent, AV est la résultante des vitesses données. Il est évident que, pour trouver cette résultante, il suffit de mener, par l'extrémité B de la première vitesse, une droite BF égale et parallèle à AC, par l'extrémité F une droite FG égale et parallèle à AD, et par l'extrémité G une droite GV égale et parallèle à AE. La droite AV qui joint le point A à l'extrémité du contour polygonal ABFGV est la résultante cherchée. Cette construction s'appelle le polygone des vitesses.
Il est facile de voir que la résultante est égale et de sens contraire à la droite VA qui fenne le contour polygonal.
Remarque. — En particulier, si les vitesses sont de même direction ^ la vitesse résultante sera égale à leur somme algébrique, et dirigée suivant la même direction que les composantes.
47. Si les vitesses données sont au nombre de trois, et si leurs directions ne sont pas dans un même plan, on peut les composer de la manière suivante :
Soient AB, AC, AD les trois vitesses données (fig. 14).
Fig. 14
En composant AB et AC, on obtient la résultante AE de
ces deux vitesses ; en composant ensuite AE et AD, on trouve que AV est la résultante cherchée.
Or, cette dernière droite est la diagonale du parallelipipède construit sur AB, AC et AD.
Cette construction, constitue le parallelipipède des vitesses^ et l'on a le théorème suivant :
Théorème. — La vitesse résultante de trois vitesses dont les directions ne sont pas da'ns un même plan est représentée en grandeur et en direction par la diagonale duparaU lélipipède construit sur les vitesses composantes.
48. Cas particulier. — Si les trois vitesses données sont perpendiculaires enJtre elles, le parallelipipède est rectangulaire.
En désignant par v, v\ v" les trois vitesses composantes, par V la vitesse résultante, et par «, p, y les angles que V fait avec les trois composantes, on a :
V = V ces a,
v' = Y ces p.
t?" » V CCS Y»
49. DÉCOMPOSITION DES VITESSES. — On peut décomposer une vitesse donnée suivant des directions données.
Soient d'abord (fig. 12) Uœ et My deux directions données, et MC •= V la vitesse qu'il s'agit de décomposer suivant ces deux directions. Observons que, pour qm
cela soit possible, il faut que la vitesse V donnée soit dans le plan yUœ. Il suffira de mener par le point C deux parallèles CA et CB aux deux directions, et alors MA et MB seront les deux composantes cherchées.
On peut aussi décomposer une vitesse suivant trois directions données Aa?, Ay, kz (fig. 14). Il suffira de mener par le point V trois plans VB, VC, VD respectivement parallèles aux plans zy, zœ, et œy, et l'on aura les trois composantes cherchées AB, AC et AD.
50. Composition analytique de plusieurs vitesses. — Soient I?, v\ i;"... les vitesses données, et soient (a, (3, y), (a', (3', y')... les angles que ces vitesses font avec les axes coordonnés rectangulaires.
En décomposant la vitesse v suivant les axes, on obtient les trois composantes :
Vx = V ces a,
Vy =V COS 3,
1?^ = î? COS y.
Faisant la même chose pour chacune des vitesses données, on aura, suivant l'axe des œ, une série de vitesses de même direction dont la résultante, que nous désignerons par V^ est égale à la somme algébrique (n° 46, remarque). On a donc :
Vx »= 2t?x = 2t; COS a ;
on aura, de même, suivant les axes des y et des z :
Vy « 2i?y = 2t;cos p, V, = lfc% = iv COS y.
Les trois vitesses Va;, Vy, V, se composeront en une
vitesse résultante V, dirigée suivant la diagonale du parallélipipède dont V^y, Vy, V^ sont les côtés (n° 47), et nous aurons :
ou bien i
V^ = (2t;cos af + (2t?cos P)^ + (2i;cos y)^
En désignant par a, b, c, lés angles que V fait avec les axes, nous aurons :
Va; = V cos a = 2t?cos a,
Vy = V cos & = 2i?cos p,
V^ = V cos c = 2î?cos Y ;
d où l'on tire :
Gosa^
2t?oos
OL
cos 6 ^
2t?cos
cosc =
Iv cos
51.' Remarque. — Nous avons vu (n° 46) que la résultante d'un nombre quelconque de vitesses est égale et de sens contraire à la droite qui ferme le contour polygonal formé par les vitesses composantes. Il résulte de là que la projection de la résultante sur une droite ou sur un plan est égale à la somme algébrique des projections des composantes.
