CHAPITRE VI
Mouvement curviligne. — Éléments
du mouvement.
Fig. 16.
52. Soit AB (fig. 15) la trajectoire d'un point rapportée à trois axes que nous supposerons rectangulaires, et soit M un point de cette trajectoire. Soient encore P, F, P" les projections du point M sur les axes.
Pendant que le point M décrit sa trajectoire dans l'espace, ses projections se meuvent sur les axes. Or, la position d'un point M étant connue du moment où l'on connaît ses projections sur les axes, il est évident que le mouvement du point M sera bien défini, si l'on connaît les mouvements de ses trois projections sur les axes. Ces projections sont déterminées à un instant donné par les équations :
y = n if).
— accès équations sont les équations du mouvement des projections de M sur les axes. On les appelle les équations du mouvement du point M.
Au moyen de ces équations il est facile de déterminer
à chaque instant la position du mobile dans l'espace.
En éliminant t entre ces trois équations, on obtient
deux relations entre les variables œ, ?/, z. Ce sont les
équations de la trajectoire du point M dans l'espace.
Il est souvent plus commode de conserver, pour représenter la trajectoire, les trois équations précédentes, qui définissent la courbe au moyen d'une variable auxiliaire t.
53. Proposons-nous maintenant de déduire les éléments du mouvement dans Vespace au moyen de ceux des trois mouvements suivant les axes.
En désignant par Va,, Vy, v^ les vitesses des trois projections du point M, on a :
Or, on sait (n° 38) que la vitesse du mouvement projeté sur un axe est égale à la projection de la vitesse sur cet axe. Donc, en désignant par v la vitesse du point M, et par «, (3, 7 les angles que sa direction fait avec les axes, on a :
Vx^ V COS a, Vy = 1; CCS p,
Vt =^ V COS y.
Donc, si par le point M on mène trois droites parallèles aux axes et égales respectivement à Va^, Vy, Vz, V sera la diagonale du parallélipipède construit sur ces droites. Par conséquent, la vitesse v du point M est la résultante des vitesses t?a:, Vy, v^ de ses projections sur les axes, et l'on a :
v^ = Vx^ + Vy"- + v,S
ou bien :
54. Cas particulier. — Il est évident que, si le mouvement du point s'effectue dans un plan, les équations du mouvement sont :
En éliminant t entre ces deux équations, on obtient une relation entre les variables œ, y, qui sera Véquation de la trajectoire du point M.
Les vitesses des projections sur les axes sont :
on en conclura comme précédemment que la vitesse v est la résultante de Vx et Vy, et l'on aura :
v^ = Vx^ + ^?tf^
ou bien :
Accélération dans le mouvement d'un point.
55. Considérons d'abord un mouvement rectiligne varié. Dans ce mouvement la vitesse et l'accélération ont
une direction constante, celle du mouvement. Elles ont pour expressions (fig. 16) :
Fig. 16.
ds dt'
dv W
La vitesse du mouvement projeté sur l'axe des oo est :
^a? = î^ ces a,
a étant une constante.
L'accélération du mouvement projeté sur l'axe des ce,
dv est ~. Or, puisque « est constant, on a :
dvrc dv dt dt
ou bien, en désignant par cp et ç^r l'accélération du mobile, et celle de sa projection sur l'axe des œ :
Ça? ==• 9 COS a.
Théorème. — Dans le mouvement rectiligne variée Faccélération du mouvement projeté sur un aœe est égale à la projection de Vaecélération sur cet aoce.
B6. Il résulte de là que, dans le mouvement rectiligne, tous les résultats relatifs aux projections des vitesses s'appliquent aux accélérations. Nous aurons donc le théorème suivant :
Théorème. — La résultante des accélérations des projections est dirigée suivant la trajectoire rectiligne,
et elle a pour valeur -rr- •
dt
Vitesse élémentaire acquise.
Accélération totale.
57. Considérons maintenant un mouvement varié quelconque. Dans ce mouvement, la, vitesse change à chaque instant, non seulement en grandeur, mais aussi en direction.
On appelle vitesse élémentaire acquise la vitesse que le mobile acquiert pendant le temps dt. C'est la vitesse infiniment petite du qui, se composant avec la vitesse v du mobile à la fin du temps ^, donne la vitesse v + dv (de direction différente) à la fin du temps t + dt.
On appelle accélération totale l'accélération à laquelle est due la vitesse élémentaire acquise. C'est la vitesse que le mobile acquerrait pendant l'unité de temps, si, dans chacune des portions infiniment petites dans lesquelles cette unité de temps peut être divisée, il acquérait un élément de vitesse de même grandeur et de même
direction que celui qu'il acquiert réellement pendant le même temps infiniment petit à la fin du temps t.
L'accélération totale à un instant quelcoique est donc une Vitesse finie qui a la même direction et le même sens que la vitesse élémentaire acquise relative à cet instant. Elle est égale au quotient de la vitesse élémentaire acquise par le temps infiniment petit dt. correspondant.
58. Dans le mouvement rectiligne, la vitesse du mobile a toujours la même direction ; la vitesse élémentaire acquise, et, par conséquent, l'accélération ont aussi la même direction, qui est celle du mouvement.
Dans le mouvement curviligne, la vitesse élémentaire acquise et l'accélération n'ont pas une direction constante. On devra donc en déterminer, à chaque instant, la grandeur et la direction. A cet effet, on détermine les composantes de l'accélération totale suivant des directions connues.
59. Théorème. — Dans un mouvement curviligne quelconque y V accélération du moutiement projeté sur un aœe, est égale à la projection de Vaccélération totale sur cet aœe.
Soient v la vitesse du mobile à la fin du temps t,œ,y,z les coordonnées du point M à cet instant. A la fin du temps t + dt, la vitesse est v\ et les coordonnées du mobile sont a?' = a? + dx, y' = y -|- dy, z^ m=. z ^ dz.
Les composantes de la vitesse v sont :
dœ dy dz .
dt' dt' 'dV
les composantes de la vitesse v^ sont :
dt ^H'^ dt'
d^ ^dy c^ dt dt^ dt'
Comme on le voit, ces dernières se composent
des composantes de v, et de trois autres quantités
-r- » —n- ' -17 ' Q^i seront donc les composantes de la dt dû dt
vitesse élémentaire acquise : ce sont les projections de la vitesse élémentaire acquise sur les axes (n"* 51). Or, l'accélération totale a la même direction que la vitesse élémentaire acquise, et elle est égale à cette vitesse divisée par dt (n° 57). Donc, les projections de l'accélération totale à laquelle est due cette vitesse élémentaire acquise, s'obtiennent en divisant par le temps dty les projections de la vitesse élémentaire acquise, ce qui nous donne pour ces projections :
d^œ cPy d^z dt^' dt^' df'
Ainsi donc, -;^ est la projection de l'accélération totale sur l'axe des œ. Mais, %^ est l'accélération du
(Pœ dt'
dt' mouvement projeté sur l'axe des œ, lequel est recti-
ligne (n^^ 30). D'ailleurs, Taxe des œ étant quelconque,
on en conclut que : Vaccélération du mouvement
projeté sur un axe est égale à la projection de
Vaccélération totale sur cet axe.
60. Il résulte de cette propriété que, si nous désignons par (p l'accélération totale, et par a, p, y les angles qu'elle fait avec les axes, nous aurons :
^ = (pcosa,
^=<pcosY.
Par conséquent, si par le point M on mène des droites égales et parallèles aux accélérations des mouvements projetés sur les trois axes, et si sur ces droites on construit un parallélipipède, la diagonale de ceparallélipipède sera précisément Vaccélération totale du mobile. Cette accélération totale est donc la résultante des accélérations des projections du mobile sur les axes, et l'on a :
4 //d''œ\* , /rf2yv2 /d^z\
1. D'ailleurs, il est évident que la vitesse élémentaire acquise est
la diagonale du parallélipipède construit sur ses trois composantes
d^cc d^v d^z
~dt ' "^r ' "âT ' ^^^ conséquent, l'accélération totale qui a la même
direction que la vitesse élémentaire acquise, et qui est égale à cette vitesse élémentaire acquise, divisée par dt (c'est-à-dire proportionnelle à cette vitesse élémentaire acquise), sera la diagonale
d^oD d^v ' d^z du parallélipipède construit sur les trois côtés -^75-, ■^~, -rp-
, , d^x d^y d^z\ proportionnels a -g^, -^, -^^-) .
61. Cas particulier. — Dans le cas où le mouvement' a lieu dans un plan , les équations du mouvement
étant :
les accélérations des mouvements projetés sont :
et Taccélération totale sera la diagonale du parallélogramme construit sur deux droites parallèles aux axes et égales respectivement à ces deux quantités.
62. Propriété. — L* accélération totale en un point M est située dans le plan osculateur à la trajectoire en ce point M.
Soit AB la trajectoire du mobile, M la position de ce mobile à la fin du temps ^ et M' sa position à la fin du
temps t + dt (flg. 17). Par un point quelconque 0, menons une droite OC dont la grandeur, la direction et le sens soient ceux de la vitesse v du mobile au point M ; par ce même point 0, menons une droite OD dont la grandeur, la direction et le sens soient ceux de la vitesse v -\-dvuyi mobile au point M' infiniment voisin du point M. Joignons CD : cette droite dont la grandeur est CD, la direction CD, et le sens C vers D est évidemment égale et parallèle à la vitesse élémentaire acquise correspondant au temps dt que le mobile emploie pour aller de M en M'. Par conséquent, l'accélération totale, à la fin du temps ^
sera dirigée suivant une parallèle à CD, menée par le
CD point M, et elle aura pour grandeur le quotient -rr.
Or, il est évident que le plan OCD est parallèle au plan osculateur en M ; par conséquent, V accélération totale est dans le plan osculateur en M.
63. Remarque. — On peut démontrer cette propriété par l'analyse de la manière suivante : à cet effet, on décomposera l'accélération totale suivant trois axes rectangulaires dont l'un sera perpendiculaire au plan osculateur, et les deux autres situés dans ce plan. Nous allons démontrer que la composante de Vaccélération totale suivant la perpendiculaire au plan osculateur est nulle.
Désignons cette composante par N', qui sera évidemment la projection de l'accélération totale sur cette perpendiculaire, et appliquons le théorème des projections. En désignant par e, e', e" les angles de cette perpendiculaire (la binormale) avec les axes, nous aurons :
en remplaçant cos e, cos e', cos e" par leurs valeurs, et posant :
A = ./ (dyd*z —dzdhffMdzd^x—dxd^zfMdxd^y -dyd'^xf,
on a:
, d^ dyd^z — dzd^y , rf^ d zd^x — dxd^z ^ ^ dt' ' Â *■ dt' Â ^
. d^z dxd^y "dyd^x + dt' A '
d'où :
AN' = ^ [dyd^z — dzd^y) + ^f [dzd^x — dœd^z)
+ rf^ (rf^cî^y — dyd^œ) = o ;
par conséquent :
ce qui démontre la propriété énoncée.
64. Il résulte de là que l'on peut considérer l'accélération totale comme la résultante de ses deux projections sur deux axes rectangulaires situés dans le plan osculateur. On prend ordinairement les projections suivant la tangente et le rayon de courbure de la trajectoire : ce sont Vaccélération tangentielle, et. Vaccélération normale ou centripète.
Nous allons chercher les valeurs de ces deux composantes que nous désignerons respectivement par ^t ^t Çn«
65. Vaccélération tangentielle étant dirigée suivant la tangente, nous aurons, en appliquant le' théorème des projections :
__ (Px dx d^dy^ (£z dz^ .
^* ■" dt"^ du "^ dt' ds "^ dt^ ds '
or, de la formule :
dœ"^ + dy"^ + dz^ = ds\
on tire :
dxd^x + dyd^ + dzd^z = dsd^s ; par conséquent :
d^s dv
66. Pour obtenir Vaccélération centripète^ remarquons que l'on a :
ou bien :
/d^xy , /dW , /d^zy /d^sy , 2
d'où :
Or,, on sait que, dx étant l'angle de contingence, on a :
d'œ^ + dY + d'z'' — d^s^ = da^d^S par suite :
„ dcL^ds^
Ttt • " IT'
d'autre part, p étant le rayon de courbure au point M, on a :
, ds aoL = — ,
P d'où, en ayant égard à la formule :
ds
""-■Si'
il vient :
d'où :
Remarque. — L'accélération centripète étant dirigée suivant le rayon de courbure, on peut obtenir l'expression précédente en appliquant le théorème des projections.
67. Il résulte de ce qui précède que, si en un point de la trajectoire du mobile, on mène la tangente et le
rayon de courbure, et si Von prend sur ces lignes des
fit* A* * longueurs respectivement égales à —et à—, la diagonale du rectangle construit sur ces deux droites sera en grandeur et en direction Vaccélération totale du mobile.
On lui donne le nom d^ accélération totale pour la distinguer de ses composantes.
68. Remarque. — Si le mouvement du mobile est rectitigne, le rayon p est infini, et l'accélération centripète est nulle. L'accélération totale se réduit à sa
dv composante tangentielle -1-, ce qui est conforme à ce que
nous avons vu (n** 30).
Si le mouvement curviligne est uniforme, l'accélération tangentielle est nulle, et l'accélération totale se
' réduit à sa composante normale — .
, Enfin, si le mouvement est rectiligne et uniforme, les deux composantes de, l'accélération totale sont nulles ; il en sera de même de l'accélération totale.
Fig. 18.
69. On peut encore observer que des deux composantes de l'accélération totale, la première, l'accélération tangentielle produit la variation de grandeur de la vitesse, et la seconde, l'accélération centripète produit le changement de direction de cette vitesse.
70. On peut obtenir les expressions de l'accélération tangentielle et de l'accélération centripète de la manière suivante :
Reprenons la figure OCD dans
laquelle OC est égale et parallèle à v^
OD égale et parallèle kv + dv (fig. 18).
Nous avons vu (n** 62) que CD est
égale, parallèle et de même sens que
la vitesse élémentaire acquise, et
et que l'accélération totale qui a la même direction et le
même sens que la vitesse élémentaire acquise est paral-
CD
lèle à CD, et égale à
dt
Cela posé, menons DE perpendiculaire à OC ; il est évident que la vitesse infiniment petite CD pourra être considérée comme la résultante des deux vitesses CE et ED. Par conséquent, la vitesse élémentaire acquise pourra être considérée comme la résultante de deux vitesses : l'une égale à CE sera dirigée suivant la tangente en M à la trajectoire, l'autre égale à ED sera dirigée suivant une perpendiculaire à cette tangente menée dans le plan osculateur, c'est-à-dire suivant le rayon de courbure en M.
Si donc nous divisons ces deux composantes CE et ED par dt, nous aurons les deux composantes de l'accélération totale suivant ces deux directions, c'est-à-dire l'accélération tangentielle et l'accélération normale. Or, si nous désignons par dx l'angle infiniment petit compris entre les directions des vitesses y Qi v -^ dv, nous aurons :
