CE =« OE — OC
or :
OE « OD cos da,
par suite :
CE =» (t? 4- dv) cos doL — V.
Mais, l'angle rfa étant très petit, on peut remplacer son cosinus par l'unité , et nous aurons pour la composante tangentielle de la vitesse élémentaire acquise :
CE = V + dv — V =^ dv ;
donc, la composante tangentielle (ft de l'accélération totale aura pour expression :
CE dv 'f'^dî'^dt'
D'autre part, on a :
ED = OD sin rfa = (t? + dv) sin da,
ou bien, en remplaçant sin da par c?a,
ED = (v + dv) doL = vdoL -f dvdoL.
Mais ED est un infiniment petit du premier ordre ; par conséquent, nous devons abandonner le second terme dvda. qui est du second ordre, et nous aurons pour la composante normale de la vitesse élémentaire acquise :
ED = vdoL.
Donc, la composante normale (pn de l'accélération totale aura pour expression :
ED rfa
Cette composante est dirigée vers le centre de cour^ bure. D'ailleurs, puisque dx est l'angle de contingence, on a :
par suite :
doL-
ds
ED dt
V ds p * dt
71. Remarque. — On peut encore obtenir les composantes de l'accélération totale suivant la tangente et le rayon de courbure de la manière, suivante :
Soient X, |ut, u, les angles que fait avec les axes le rayon de courbure, pris dans le sens qui va de la courbe au centre de courbure, et a, p, y les angles de la tangente au point M avec les axes, on a :
dx dt
dz
^ = î; CCS Y ;
on en tire :
(Px dv , cî cos a
Or, on sait que :
^ rf cos a
cos / = p . — -T ;
d'ailleurs :
d cos a rf cos a ds \ ds . v ^ — -j- — = — -^ — . — - a« — -— cos A = — cos A ; ai as de p at p
donc :
d^x dv , v^ .
cos a --T7 ^ cos A .
dr- dt ^ p
De même :
dN û dv , V-
d^z dv , v^
-j- as cos y — n H cos u.
dt^ ' dt ^
Il résulte de ces formules que l'accélération totale est
dv la résultante d'une accélération -j^ dirigée suivant la
tangente dans le sens du mouTement, et d'une accéléra-
v^ tion — dirigée suivant la normale principale dans le
sens centripète.
Indicatrice des accélérations totales.
72. Imaginons que M, M', M" (fig. 19)..., soient les positions d'un mobile à la fin des temps t,t + Q,t + 29....
6 étant un intervalle très petit.
Menons des tangentes à latrajectoire SS' en ces points, et prenons MV, MV, M"V"..., égales aux vitesses du mobile en ces différents points.
Par un point 0, menons des droites OA, OA', OA". . . , égales et parallèles aux vitesses v, v\ v"...
Le lieu des points A, A', A"..., sera une courbe dont les arcs AA', A' A"..., seront égaux aux vitesses élémentaires acquises. Ainsi donc, les rayons vecteurs de cette courbe sont les valeurs des vitesses, et ses arcs sont les produits <fdt. Cette courbe s'appelle : indicatrice des accélérations totales.
Imaginons que, pendant que le mobile parcourt la trajectoire SS', un second mobile parcourre l'indicatrice, de manière que les deux mobiles passent en même temps aux points correspondants M et A, M' et A'.... Nous aurons la propriété suivante :
Propriété. — Les vitesses du mobile auxiliaire sur tindicatrice sont égales et parallèles aux accélérations totales du mobile réel sur sa Irajectoire.
Remarque. — Si la courbe SS' est plane, l'indicatrice est plane.
Accélération du mouvement projeté
sur un plan fixe.
73. On sait (n° 37) que la vitesse du mouvement projeté sur un plan fixe est à chaque instant la projection de la vitesse du point de l'espace. Cela posé, soit OCD le triangle dans lequel OC, OD, et CD sont respectivement égaux et parallèles à la vitesse v à la fin du temps t, à la vitese i; + rfy à la fin du temps t -f dt, et à la vitesse élémentaire acquise correspondant au temps dt. Projetons ce triangle sur le plan fixe, et soit ocd le triangle projection.
Le côté oc, projection de OC, est égal et parallèle à la vitesse de la projection sur le plan flxe--à Ja fin du temps t, le côté od, projection de OD, est égal et parallèle à la vitesse de la projection sur ce plan fixe à la fin du temps t + dt. Donc, le côté cd, projection de CD, est égal et parallèle à la vitesse élémentaire acquise du mouvement projeté, puisqu'il jouera dans le mouvement projeté le même rôle que CD dans le mouvement de l'espace.
Donc, rtwcélération totale du mouvement projeté sur un plan est la projection sur ce plan de Vaccélération totale du mouvement de Tespace,
74. Remarque. — Si l'on projette sur le plan fixe le rectangle dont les côtés sont l'accélération tangentielle et l'accélération normale, et la diagonale l'accélération totale, la projection sera, en général, un parallélogramme dont la diagonale sera l'accélération totale du mouvement projeté. Les côtés de ce parallélogramme représentent deux composantes de cette accélération ;
mais, ces composantes, qui ne sont pas rectangulaires, seront différentes de l'accélération tangentielle et de l'accélération normale du mouvement projeté.
Donc, en général, Y accélération tangeidielle et Taccé" lération centripète du mouvement projeté sur un plan ne sont pas les projections de Vaccélération tangentielle et de Vaccélération centripèie du mouvement de V espace.
Déviation due à raccélération totale.
75. On peut encore trouver une expression de l'accélération totale dont nous aurons à faire usage dans la suite.
Considérons le mobile à la fin du temps ^au pomt M, anime de la vitesse v (fig. 20). A la fin du temps t + dt^ le mobile est arrivé en M', et il possède la vitesse V + dv. Le mouvement réel MM' peut être considéré comme résultant de deux mouvements rectilignes simultanés. Dans le premier mouvement, si l'accélération était nulle à partir du point M, le mobile continuerait à se mouvoir d'un mouvement uniforme sur la tangente, avec la vitesse v, et au bout du temps dt^ il serait arrivé au point N, tel que l'on ait :
. MN = vdt.
Il résulte de là que NM' représente la déviation par rapport au mouvement recti ligne due à l'accélération. Le second mouvement, dû à l'accélération cp, est uniformément variç, puisque l'acîcélération 9 peut être considérée comme constante en grandeur et direction pendant
le temps infiniment petit dt. Le chemin NM' parcouru par le mobile dans ce mouvement est donc :
NM' « i <p dtK
Donc, quand on connaît une des deux quantités NM' ou 9, on peut calculer l'autre.
De cette formule on tire pour l'accélération <p :
