On peut rapporter les diverses positions d'un
point mobile à un système de coordonnées polaires.
Nous allons d'abord étudier le ^inouvement dans un
plan. Soient le pôle, Oœ l'axe polaire, OM = r le rayon
vecteur, l'angle qu'il fait avec *^' ^ ' ^ l'axe polaire (flg. 21). Les quan-
tités r et qui fixent la position du point dans le plan sont évidemment des fonctions du — temps t. Le mouvement du point M sera déterminé quand on connaîtra les relations qui lient r, 9 et ^ Ces relations sont les équations du mouvement du point M en coordonnées polaires.
En éliminant t entre ces équations on aura l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires.
On peut considérer le point M comme animé de deux mouvements simultanés : en effet, on peut le regarder comme se mouvant suivant le rayon vecteur OM, pendant que celui-ci tourne autour du pôle 0. La composition de ces deux mouvements donnera le mouvement réel.
Or, la vitesse du point M dans son mouvement le long du rayon vecteur est :
Va «
dr di
Cest la vitesse de glissemeyit.
La vitesse du point M en vertu du mouvement autour du pôle sera dirigée suivant la perpendiculaire au rayon vecteur OM. Or, l'arc décrit par le point M pendant le temps dt étant rrfQ, la vitesse sera :
rf9 dt
C'est la vitesse de circulation.
La vitesse du point M sera la diagonale du parallélogramme construit sur Vg et Vc.
77. Remarque L — On peut trouver analytiquement ces deux composantes de la manière suivante : Nous savons que les composantes de la vitesse suivant
deux axes rectangulaires sont 737 ^t -^ • ce sont les projections de la vitesse V sur les axes. D'autre part, Vg et Vc sont les projections de la vitesse v sur le rayon vecteur et sur la perpendiculaire à ce rayon.
Nous aurons donc, en appliquant le théorème des projections (flg. 22) :
Fig. 22.
-TT ces 6 4- -:^ sm 9, dt dt
dœ r,i X dy , f,^
Vc = -jT ces 6' 4- TH" sm 6'.
dt dt
Or, on a 9' *« 90° + 6, par suite
cos 6' = — sin e, sin 6' = cos G ; donc,
dœ . ,, , dy ^ ,^
Mais, les formules
a; = r ces 9,
y = r sin 9,
nous donnent :
dœ ^dr - r. dd
-- «= cos 9 -77 — r sin 9 -TT > dt dt dt
dy . ^dr , ^ dO
at au at
En substituant dans les formules (1) et (2), il vient :
dr
di
valeurs que nous avons trouvées précédemment.
