Remarque II. — Les formules (3) permettent
de déterminer les composantes -j- » -Jr de la vitesse sui-
dt dt
vaut les axes, connaissant les vitesses Vg et Vc de glissement et de circulation.
dcG ô/u Si, au contraire, on donne ^r » -^ , et que l'on se
dt dt ^
propose de trouver la vitesse de glissement, et la vitesse de circulation, il faudra employer les formules (1) et (2), qui, d'ailleurs, ne sont autres que les formules (3) résolues par rapport ^ "ii ^* ^ ;/> •
79. Remarque III . — Dans le cas d'un mouvement plan, on considère encore une autre vitesse que l'on appelle vitesse aréolaire. Si l'on considère l'aire élémentaire MOM' décrite par le rayon vecteur pendant le temps dt^ la vitesse aréolaire Va sera le quotient de cette aire par le temps dt. On aura donc :
aire MOM^ ^ ^ rf9 ^^^ dt '^^^ dt
80. Real\rque IV. — Si, dans un mouvement plan, on prend sur le rayon vecteur une longueur OA égale à l'unité de longueur, le déplacement du point A mesure l'angle décrit par le rayon vecteur. La vitesse de* ce
point A est évidemment égale à — . On l'appelle la
(JvC
vitesse angulaire. En la désignant par w , on a :
Ci)s=
rf9.
dt"
par conséquent
dO
dt
— lùr.
Va'^-
r — dt
81. Considérons maintenant le mouvement dans l'espace. Lorsqu'un point se meut dans l'espace, on peut
définir sa position à chaque instant, en donnant :
F sa distance r à un point fixe (fig. 23) ;
2"" l'angle 9 que fait le rayon vecteur OM avec sa projection Om sur un plan fixe xOy ;
3® l'angle 9 que fait cette projection Om avec une droite fixe Oœ tracée dans ce plan.
Les coordonnées r, 6, cp sont des fonctions du temps t ; le mouvement du point M sera déterminé, quand on connaîtra les relations entre ces quantités et le temps t. Ces relations constituent les équations du mouvement du point M.
On peut considérer le mouvement du point M comme résultant de trois mouvements simultanés :
P Un mouvement de glissement du point M le long du rayon vecteur OM ;
2"* Un mouvement de rotation du rayon OM autour du point dans le plan MOA : c'est le mouvement en latitude ;
3"* Un mouvement de rotation du plan MOA autour . de l'axe Oz perpendiculaire au plan fixe (vOy : c'est le mouvement en longitude.
La vitesse de glissement le long du rayon vecteur est évidemment donnée par la formule :
Vg =
dr ~di'
La vitesse du point M, supposé immobile sur le rayon
vecteur OM, pendant que le rayon OM tourne autour du pôle dans le plan MO A, ou la vitesse en latitude sera :
elle est dirigée suivant une perpendiculaire à OM dans le plan MOA.
La vitesse du point M immobile dans le plan MOA, pendant que ce plan tourne autour de Oj, ou la vitesse en longitude y sera la même que celle de sa projection m sur le plan fixe, autour de l'origine. Or, cette dernière, qui correspond à une distance r cos 9 de l'origine sera :
reosB^.
dt
Donc, la vitesse en longitude du point M est :
at
Elle est dirigée suivant une perpendiculaire au plan MOA.
La résultante de ces trois vitesses perpendiculaires entre elles deux à deux est la vitesse du point M dans l'espace.
88. Formules. — Les relations entre les coordonnées rectilignes et les coordonnées polaires étant :
a? = r cos 6 cos ç, y sa r cos fl sin ç, 4: =» r sin 6,
on en tire pour les vitesses des mouvements projetés sur les axes :
dx ^ dr . ^ rfe . . dm
-— = cos cos 9 -77 — r sm 9 ces © -7- — r ces ô sin © -^^ , dt ^ dt ^ dt ^ dt
dy f. . dr . ^ . rfô , ^ rfcp
-g. = cos 9 sm CD -77 — r sm 9 sm © -y- + r cos 9 cos ©-^ » dt ^ dt ^ dt ^ dt
dz ' f,dr ^ ^ dO
dt dt dt
En résolvant ces équations par rapport à -^.^'^-^
et r cos 9 -y , on obtient en fonction des vitesses des dt
projections sur les axes^ la vitesse de glissement, la vitesse de circulation en latitude et la vitesse de circulation en longitude :
dr . dx , ^ . dy , . ^dz
^ = cos9cos(p^+cos9sm(p^ + sm9^,
rf9 . ft dx . ^ . rfy , ^dz
r --. === -- sm 9 cos © -77 -- sin 9 sm © -^ + cos 9 -77, dt ^ dt ^ dt ' dt
f, dm dx , dy
r cos 9 — t. = — sm © -77 + cos -^ .
dt ^ dt ^ dt
Accélération en coordonnées polaires.
83. Supposons d'abord que le mouvement du point M s'effectue dans im plan. Si nous prenons les composantes de l'accélération totale suivant le rayon vecteur, et suivant une perpendiculaire à ce rayon vecteur, nous aurons :
Or, des formules (3) (n*" 77), on tire :
»cos9^-.2sme^^-rsm9^-rcos9(^j ,
En remplaçant, il vient :
rf-9 , ^dr dB 'f^^'^ïïr^+^dtdi'
Les termes -nr ♦ ^ ^i;» — ^ l -tjt 1 <l^i entrent dans ces
dt^ dû* \dtl
formules sont V accélération de glissement ^ V accélération tangentielle du mouvement de circulation du point M autour du point 0, Vaccélération centripète dans ce
même mouvement de circulation.
dr d9 Le terme 2 -17 -17 est une accélération complémentaire
qui résulte du mouvement de rotation des directions suivant lesquelles on décompose l'accélération totale.
84. (Considérons maintenant le mouvement d'un point dans l'espace. Nous aurons pour les composantes de l'accélération totale suivant les axes :
d^œ f. rf*^ o • fl dr de
^=cosecos(p^-2smecos<p^^
^ ^ . dr d(p . /dOy
— 2cos9sm© -77 ~ -^ ^ ces 6 ces © I -rr I
^ dt dt ^ \dt/
, ^ . -. . dB d(p . ^ d^O
— rcosGcos© l-^l — r cos6 sin<p-7^,
^ \dt/ ^ dt*
rf«y . . d-r o •.. û • dr dB
^ = cos9sm(p^-2smesm^^
, ^ dr d(p ^ . /dOV
+ 2cosecos(p^^-rcosesm(p(^
« . ^ dB d(p . ^ . d*9
— 2r sm fl ces — - -X r sm 6 sm ® -1-
^ dt dt ^ dt^
— rcosOsin <p /^j + rcosecos(p-^t
d^z tid'hr , ^ « dr dB
-^ = sm e -^TT + 2 CCS 6 -77 -jdt^ dt^ dt dt
. « /dBy , .rf^e
Ces formules nous apprennent que l'accélération totale est la résultante des huit accélérations suivantes :
—^ j accélération du mouvement de glissement ;
' ^/2 ' accélération tangentielle dans le mouvement de circulation en latitude ;
(dOV — I , accélération centripète du mouvement de
circulation en latitude ;
r cos 9 -^ y accélération tangentielle dans le mouvement de circulation en longitude ;
— r cos 9 (-^] , accélération centripète du mouvement de circulation en longitude ;
p dr dB TtU'
I accélérations complémentaires dues 2 r -T- -^ , l aux divers mouvements du rayon OM
[ autour du point 0.
^ dr d'p It dû'
86. Problème. — Un point M parcourt une circonférence de cercle de rayon r avec un mouvement uniforme. On demande de déterminer l'accélération totale du mobile à la fin du temps t.
Fig. 24.
Rapportons le mouvement à deux axes rectangulaires
ox et oy passant par le centre du cercle (fig. 24), Taxe ox passant par le point A où le mobile se trouve à l'origine du temps. Soient M la position du mobile à la fin du X temps ^ et v sa vitesse.
Nous aurons, en désignant par « Tangle MoA :
a? = r ces <i),
y =■ r sin <i).
Or, le mouvement du point M étant uniforme, on a
arc AM == wr — vt^
iù =
Par suite
0? = r ces — , r
y = r sm —
Ce sont les équations du mouvement du point M. On en tire, pour les composantes de la vitesse :
dx . vt
dt r
dy vi
-n- *= t? cos — . dt r
t?y = -^ «= î? cos
De la première de ces formules on conclut que la vitesse du mouvement projeté sur Vaœe oœ est proportionnelle à Vordonnée MP.
On a aussi pour les composantes de l'accélération totale :
ffx
d^x ~ 'dt?' "~
cos
vt
dHi
^ dt^ ^
sin
vt r '
par
conséquent :
En désignant par a l'anyle que l'accélération totale fait avec l'axe des a?, on a :
^ vt V tg:L=tg — «= ^; ^ ^ r X
donc, Taccélération totale qui a pour valeur — est
dirigée suivant le rayon vecteur oM, et de M vers o, puisque -^ et -^ sont de signes contraires à a? et y.
Supposons que l'on projette le mobile à chaque instant sur un plan parallèle à ox^ et faisant avec le plan du cercle un angle 6, et étudions les propriétés du mouvement projeté.
Prenons pour axes, dans le plan de projection, les projections des axes de l'espace. Ces projections sont rectangulaires, l'axe des x étant parallèle au plan de projection ; nous aurons, pour les équations du mouvement projeté :
vt X = r ces — , r
y = r cos sm — .
En éliminant t, on trouve pour l'équation de la trajectoire :
r^ ~ r^ cos ^9 '
cette trajectoire est donc une ellipse.
Des équations précédentes on tire :
dx . vt
-T7 = — vsm — , dt r
dy f, vt
-g. = t? cos 9 cos — , dit r
d'où l'on déduit la vitesse du mouvement projeté, qui sera un mouvement varié.
On a ensuite :
d^x v^ vt
-jj^ == cos — ,
dt^ r r
dhj v^ ^ , vt
-j^ = cos 9 sm — ;
dt^ r r
donc, raccélération totale du mouvement projeté aura pour expression :
m = i?l \/cos « — + cos «e sin^ — .
Si (3 est l'angle que cette accélération fait avec l'axe des â?, on a :
^ûr (3 = cos ^ûr — = ^ .
Donc, l'accélération totale est dirigée du point mobile vers le point o\ centre de l'ellipse, puisque -^ et -^
sont de signes contraires à a? et y.
Propriété. — Uaccélération cp est proportionnelle à la distance du point mobile au centre de sa trajectoire elliptique.
En effet, en désignant cette distance par cî, on a :
d =« |/ a?2 + îz-i = r W cos 2 —- + cos ^ô sin ^ — ;
donc :
.Remarqiîe. — Tous ces résultats confirment ce que nous avons dit de l'accélération du mouvement projeté .
