CHAPITRE I
Mouvement d'un corps solide.
Mouvement de translation.
86. Nous avons étudié jusqu'ici le mouvement d'un point. Nous nous proposons maintenant d'étudier le mouvement d'un solide invariable^ c'est-à-dire d'un système de points dont les distances mutuelles restent constamment les mêmes.
Nous commencerons par les mouvements simples, à savoir le mouvement de translation et le mouvement de rotation.
87. Mouvement de translation. — On dit qu'un système invariable mobile dans l'espace est animé d'un mouveme^it de translation^ lorsque tous les points de ce système décrivent simultanément, pendant un temps
Fig. 26.
infiniment petit, des chemins égaux, parallèles et de même sens.
88. Propriété. — Lorsqu'un solide est animé d'un mouvement de translation, les vitesses de tous ses points sont égales^ parallèles et de même sens.
En eflTet, puisque les chemins élémentaires MM' et
mm^ sont égaux, parallèles et de même sens, il est évident que les vitesses des points M et m seront égales, parallèles et de même sens (flg. 25).
Cette vitesse commune de tous les points à un même instant s'appelle la vitesse de translation à l'instant considéré. Cette vitesse peut d'ailleurs changer en grandeur et direction à chaque instant.
89. Remarque I. — Il est évident que, dans un mouvement de translation, une droite telle que Mm (fig. 25), joignant deux points M et m du solide, restera constamment parallèle à sa position primitive. En eflFet, puisque les arcs MM' et mm' sont égaux, parallèles et de même sens, la figure MM'm'm peut être considérée comme un parallélogramme, et, par conséquent M'm' est égale et parallèle à Mm.
Remarque IL — Ce que nous avons dit du mouvement de translation d'un solide invariable, s'applique évidemment au mouvement de translation d'une figure plane dans son plan.
Remarque III. — Pour qu'une translation soit bien définie, on doit connaître sa direction^ la vitesse linéaire, ainsi que le sens dans lequel le mouvement s'effectue.
Mouvement de rotation. — Vitesse angulaire.
Axe de rotation.
90. Si deux points d'un corps en mouvement restent constamment immobiles dans l'espace, tous les points de la droite qui joint ces deux points restent aussi fixes. On dit que le solide tourne autour de cette droite que l'on appelle axe de rotation.
Quand un corps solide tourne autour d'un axe fixe, chacun de ses points décrit une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et dont le centre est sur l'axe.
91. Propriété. — Dans un mouvement de rotation autour d'un a^ooe, les perpendiculaires abaissées des divers points du corps sur Vaœe décrivent des angles égaux dans le même temps.
Soient AB l'axe de la rotation (fig. 26), M et N deux points du corps, M' et N' les positions de ces deux points au bout d'un certain temps. Il s'agit de démontrer que l'on a :
MOM' «= NON',
^ ^ et 0' étant les centres des deux circonférences décrites par les points M et N.
Menons O'm parallèle à OM : cette droite sera perpendiculaire à AB, et, par conséquent, dans le plan du cercle NO'N'. Or, lorsque les points M et N viennent en M' et N', là droite O'm vient
en O'm', parallèle à OM', et l'angle mO'm' = MOM'.
D'autre part, l'angle NO'm ne change pas pendant la rotation ; par conséquent, l'angle. N'O'm' qui est la nouvelle position de cet angle est égale à NO'm. On a donc :
N'OW = NO'm ; en retranchant la partie commune N'O'm, il vient :
mO'm' ~ NO'N'.
Donc,
MOM' = NO'N'.
Par conséquent, les angles décrits dans le même temps par les perpendiculaires abaissées des différents points sur l'axe sont égaux. La valeur commune de tous ces angles correspondant à un temps quelconque est ce qu'on apppelle le déplacement angulaire du solide pendant ce temps.
92. Le mouvement de rotation d'un corps autour d'un axe est uniforme, lorsque le solide tourne d'angles égaux dans des temps égaux, quels que soient ces temps ; ou bien, lorsque les angles dont il tourne sont proportionnels aux temps correspondants. L'angle dont le solide tourne pendant l'unité de temps, s'appelle la vites&e angulaire. Elle mesure le degré plus ou moins grand de rapidité ou de lenteur de ce mouvement.
98. Dans un mouvement de rotation uniforme d'un corps autour .d'un axe, les différents points du corps décrivent. d'un mouvement uniforme des circonférences de cercle. -Mais, les vitesses linéaires de ces différents points sont différentes. En effet, soient MM' et NN'
(fig. 26) les arcs décrits dans le même temps par les deux points M et N : ces arcs sont proportionnels aux rayons correspondants. Par conséquent, les arcs décrits dans l'unité de temps sont proportionnels aux rayons correspondants OM et O'N. Donc, dans un mouvement de rotation uniforme autour dun aœe^ les vitesses des différents points sont entre elles comme les distances de ces points à Taxe.
94. Si Ton mesure les angles par les arcs correspondants sur une circonférence dont le rayon est égal à l'unité de longueur, la vitesse angulaire sera Varc décrit dans Vunité de temps par un point du corps situé à Vunité de distance de Xacce. C'est la vitesse linéaire de ce* point.
Il résulte de ce qui précède, que si « est la vitesse angulaire du mouvement de rotation, et vis. vitesse linéaire d'un point situé à une distance r de l'axe de rotation, nous aurons :
d'où :
V = wr.
95. Un mouvement de rotation qui n'est pas uniforme est dit varié. Dans un mouvement de rotation varié, la vitesse angulaire varie à chaque instant. Mais, à un instant donné, elle a une valeur finie et déterminée qui, si elle demeurait constante à partir de cet instant, transformerait le mouvement varié en mouvement uniforme. Il résulte de là, que, si est l'angle dont le solide a tourné à la fin du temps t, c'est-à-dire le chemin parcouru par un point du corps situé à l'unité de
distance de l'axe de rotation, -77 sera la vitesse de ce
dt
point à la fin du temps t. Ce sera la vitesse angulaire du corps à la fin du temps t^ et, en la désignant par «, on a :
tù sa — ; dt
suivant que « sera constante ou variable, le mouvement de rotation sera uniforme ou varié.
Dans le cas du mouvement varié, nous appellerons
accélération angulaire la quantité — .
Le môme raisonnement que nous avons fait ci-dessus (n® 94), nous permettra de conclure que la vitesse v d'un point situé à une distance r de l'axe de rotation sera donnée par la même formule :
96. Pour qu'wwe rotation soit bien définie ^ on doit connaître Vaœe autour duquel elle s'effectue, la vitesse angulaire w et le sens du mouvement de rotation.
97. Axe de rotation. — Avant d'aller plus loin, nous allons définir ce que l'on entend par axe de la rotation.
Soit AA' la droite indéfinie autour de laquelle se fait la rotation (flg. 27). A partir d'un point pris sur cette
droite, portons une lon- ^'^- ^^- gueur OA = », » étant
la vitesse angulaire. La
r7~ droite finie Aindiquera ' ^' l'axe de la rotation et la
grandeur de la vitesse angulaire. Elle peut aussi indiquer le sens de cette rotation, si l'on convient d'attribuer
à OA un sens tel qu'un observateur, couché le long de Taxe, voie la rotation s'effectuer de gauche à droite. Ainsi, dire que OA est l'axe de rotation, c'est dire que l'observateur a les pieds, en 0, et la tête en A. La rotation s'effectuant par convention de gauche à droite, son sens est bien défini : elle aura lieu dans le sens de la flèche (1). Au contraire, dire que OA' est l'axe de rotation, c'est dire que l'observateur a les pieds en 0, et la tête en A'. La rotation s'effectuant toujours de .gauche à droite, elle aura lieu dans le sens de la flèche (2).
Ainsi donc, Vaxe delà rotation sera une longueur finie "prise sur l'axe géométrique autour duquel le corps tourne, égale à la vitesse angulaire, et dirigée dans un sens tel que Vohservateur couché le long de cet oâce voie le corps tourner de gauche à droite.
98. Remarque. — La convention que nous avons faite permet d'attribuer des signes aux rotations qui s'effectuent autour des axes coordonnés. Ainsi, si la rotation s'effectue autour de l'axe des x, et si elle a lieu des y vers les ^, le sens de l'axe sera Ox, puisque l'observateur pour la voir s'effectuer de gauche à droite devra avoir les pieds en 0, et la tête en x. Or, la direction Ox étant celle des abscisses positives, on dira que la rotation est positive.
Si la rotation a lieu des z vers les y, le sens de l'axe sera évidemment Oo:', et la rotation sera dite négative.
