Nous avons supposé que les deux droites MN et

M'N' se coupent en un point B. Si ces deux droites

étaient parallèles et de '^* * même sens lûg. 29), il

ï 1 \ -• suffirait, pour amener MN

\ \ \ à coïncider avec M'N', de

^^-^^S^-\'-:^^\"'^\ donner à MN, et par

^ ^ ' conséquent à la figure

mobile, un mouvement de translation, ce qui équivaut à un mouvement de rotation autour d'un centre situé à l'infini. D'ailleurs, dans ce cas, les perpendiculaires élevées aux milieux de AA', BB', ce, etc., étant parallèles, leur point de rencontre est à l'infini.

102. Si les deux droites MN et M'N' étaient parallèles et de sens contraires (fig. 30), en joignant AA',

BB', ce, etc. , ces droites se ^*^* ^^' coupent en leurs milieux I.

M A B ^^ Il est évident que, pour

^^^ \ ^^^^^ amener MN à coïncider "Xl"" avec M'N', il suffirait de ^^^ l \^ donneràMN, etparconséjjT-^jf '^ ^ 'Jy queïit à la figure mobile,

un mouvement de rotation autour du point I. D'ailleurs, les perpendiculaires élevées aux milieux de AA', BB', CC, etc. se confondent, dans ce cas, avec le point I.

103. Mouvement élémentaire d'une figure plane DANS SON PLAN. — Le théorème énoncé plus haut (n^ 99) s'applique à un déplacement quelconque de la figure mobile, dans son plan, et, par suite, à un déplacement infiniment petit.

Donc, le déplacement élémentaire d'une figure plane dans son plan résulte d'un mouvement de rotation élémentaire autour d'un point du plan, point qui peut

être situé à Tinfini. Comme ce point change pour chaque déplacement élémentaire, on l'appelle centre instantané de rotation.

Dans ce cas, les droites telles que PP', qui joignent deux positions consécutives P et P' d'un même point de la figure mobile, deviennent les arcs infiniment petits de la trajectoire décrite par chacun de ces points ; alors, la perpendiculaire élevée au milieu de PP' devient la normale à la trajectoire, et l'angle POP' est l'angle infiniment petit dont la figure a tourné autour du point 0.

104. Conséquences. — De ce qui précède résultent les propriétés suivantes :

P A un instant donné, et dans un temps infiniment petit, tous les points de la figure mobile ont un mouvement de rotation élémentaire autour du centre instantané correspondant, ou, ce qui revient au même, autour d'un axe perpendiculaire au plan et mené par le centre instantané.

2!" A un instant donné, les normales aux trajectoires de tous les points de la figure mobile concourent en un môme point, qui est le centre instantané de rotation.

3^ La vitesse de chaque point mobile est perpendiculaire à la droite qui joint ce point au centre instantané de rotation.

4"" Les vitesses de tous les points de la figure sont proportionnelles aux distances de ces points au centre instantané.

106. Mouvement continu d'une figure plane dans SON PLAN. — Quand une figure plane se meut d\me manière continue dans son plan^ ce mouvement peut être produit au moyen d'une certaine courbe du plan^ qui serait invariablement liée à la figure inobile,

et qui roulerait sans glisser sur une autre courbe fixe située dans ce mène plan.

On peut encore énoncer ce théorème comme suit ;

Théorème. — Le mouvement continu d'une figure plane dans son plan est un mouvement épicycloïdal.

En effet, nous avons vu que le mouvement élémentaire d'une figure plane dans son plan est une rotation autour d'un certain point 0, que Ton appelle centre instantané de rotation. Le mouvement continu de la figure est une suite de mouvements élémentaires, par conséquent, une suite de rotations autour de centres instantanés successifs infiniment voisins dans le plan.

Supposons que soit le centre de rotation à l'instant considéré (fig. 31) : au bout d'un temps infiniment petit,

le centre sera a, puis ce seront les points l3, y, (î ... Tous ces points 0, a, (3, y..., forment une courbe du plan. Or, il existe un point a du plan, ce point étant invariablement lié à la figure, qui viendra coïncider avec a, lorsque ce point a sera le centre instantané ; de même, des points 6,c,rf..., du plan, invariablement liés à la figure mobile, coïncideront avec les points P, y, 5..., lorsque ces derniers seront les centres de rotation. Tous ces points 0, a, &, c... forment une courbe Oabc. liée invariablement à la figure mobile.

Cela posé, il est facile de s'assurer que, si nous supposons la figure mobile animée d'un mouvement continu, la courbe Oa&c... est toujours tangente à la courbe fixe Oa(3y..., et roule sans glisser sur cette dernière. Soit, en effet, le centre de rotation au moment considéré : le mouvement de la figure est une

rotation élémentaire autour du point 0, rotation qui amène le point a en coïncidence avec «. Donc, aQx est l'angle dont la figure tourne autour de 0. Le déplacement étant infiniment petit, cet angle aOa est infiniment petit et les deux courbes sont tangentes en 0. Le mouvement est donc un mouvement de roulement, et ce roulement s'effectue sans glissemen^t : en effet, dans le mouvement élémentaire, le point ne bouge pas, et le point a vient en a ; donc Oa «= O^c, et, par suite, il y a simple roulement.

Donc, dans le mouvement de la figure mobile dans son plan^ la courbe Oabc... roule sans glisser sur OoL^y... Réciproquement, si la courbe mobile, à laquelle la figure est invariablement liée, roule sans glisser sur ime courbe fixe, on obtient précisément le mouvement de la figure mobile.

La courbe fixe est le lieu des points du plan qui sont successivement les centres instantanés de rotation, et la courbe mobile est le lieu des points de la figure mobile qui viennent successivement coïncider avec les centres instantanés.

106. Remarque. — Par la première rotation autour du point 0, le point a vient coïncider avec a (fig. 31) ; par la seconde rotation autour du point «, le point b vient coïncider avec |3. Or, il est évident que l'angle dont la figure doit tourner autour de « pour amener cette coïncidence de b avec |3 est égal à la somme des angles bat + T^jS, c'est-à-dire égal à la somme des angles de contingence des deux courbes. Donc, à un instant quelconque, la courbe mobile tourne autour du point de contact d^un angle égal à la somme des angles de contingence des deux courbes.

107. Cette propriété permet de trouver une relation entre la vitesse angulaire de la rotation instantanée, et

la vitesse linéaii^e avec laquelle le point de contact se déplace le long des deux courbes.

Soient R le rayon de courbure de la courbe fixe, et p le rayon de courbure de la courbe mobile, v la vitesse avec laquelle le point de contact se déplace le long des deux courbes. Dans le temps infiniment petit dt, ce point parcourt sur chacune des deux courbes un arc égal à vdt. Donc, l'angle de contingence correspondant

dans la courbe fixe est ^5- , et dans la courbe mobile — ;

par conséquent, la courbe mobile décrit dans le temps dt, un angle total égal à :

vdt . vdt

Or, w étant la vitesse angulaire de la rotation instantanée, l'angle dont la figure mobile a tourné pendant le temps dt sera égal à (^dt. Nous aurons donc :

(jidt ^vIztA — ) dt.

d'où l'on tire :

pour la rotation cherchée.

Si les courbures des deux courbes sont dans le même sens, nous aurons :

,(^i). ou ««=«(1-1).

Mouvement d'un solide dont tous les points se déplacent parallèlement à un plan.

108. Considérons un corps se mouvant parallèlement à un plan. Faisons une section plane F parallèle à ce plan P ; elle déterminera une figure plane mobile dans son plan P'.

Or, à un instant quelconque, le mouvement élémentaire de cette figure plane est un mouvement élémentaire de rotation autour d'un centre instantané. Par suite, le mouvement élémentaire du corps est un mouvement de rotation élémentaire autour d'un axe perpendiculaire au plan P, mené par] le centre de rotation. Cet axe se déplace à chaque instant : on l'appelle axe instantané de rotation.

Donc, si un solide se meut d'une manière continu-e parallèlement à un plan fixe, son mouvement peut être produit au moyen d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan fixe, et qui serait invariablement lié au corps solide, et qui roulerait sans glisser sur un autre cylindre fixe dans Tespace, dont les génératrices seraient aussi perpendiculaires au plan fixe.

Le cylindre fixe est le lieu des droites qui sont successivement axes instantanés de rotation, et le cylindre mobile le lieu des droites de l'espace qui viennent successivement coïncider avec les axes instantanés.