MA' N

D» mouvement de translation

rectiligne représenté en grandeur et en direction par AA'. Les points B, C, D..., viendront en B", C", D"... Il n'y aura plus qu'à donner au solide un second mouvement en vertu duquel le point A' restant immobile, les points B', C, D"... viendront en B', C, D'... Or, comme on sait, ce second déplacement du solide peut s'effectuer par une rotation autour d'un axe instantané passant par le point A'. Donc, on peut amener le solide de la première position

(ABCD. . .) à la seconde position (A'B'C'D'. . .) en lui communiquant :

1^ Une translation suivant AA' ;

2"* Une rotation autour J'un axe instantané MN passant par le point A'.

112. Il est évident qu'il y a une infinité de manières de faire passer le corps de la première position à la seconde par la combinaison d'une translation et d'une rotation. En effet, il sufllt de faire jouer à chacun des points que l'on peut imaginer faire partie du corps solide, le rôle que l'on a fait jouer au point A.

Or, parmi ces combinaisons, en nombre infini, il y en a une dans laquelle la translation a lieu parallèlement à l'axe de rotation. En effet, imaginons un plan P, perpendiculaire à MN, et soit F la section faite par ce plan dans le corps. La translation AA' transporte la figure F dans un plan P' parallèle au plan P. Soit F' la position de la section F après la translation AA', et soit F" la position qu'elle occupe dans le plan P' après la rotation autour de MN. Or, pour faire passer la figure plane de sa première position F à la position F", on peut d'abord lui donner un mouvement de translation suivant une perpendiculaire aux deux plans P et P', translation qui amènera la figure F en Fj, dans le plan P', puis faire tourner F^ dans le plan P' autour d'un point de ce plan, c'est-à-dire autour d'un axe perpendiculaire aux plans P et P'. Si l'on conçoit le solide entraîné par cette figure, il passera de la position (ABCD...) à la position (A'B'CD'...).

On voit donc que l'on peut amener le solide d'une position à une autre par une translation suivie d'une rotation autour d'un axe de même direction que la translation. Cet axe s'appelle axe instantané de rotation

et de glissement. La position de cet axe change d'un instant à l'autre du mouvement.

113. n résulte de ce qui précède que le mouvement élémentaire d'un corps solide dans l'espace est un mouvement hélicoïdal c'est-à-dire qu'il peut être assimilé à celui d'une vis qui pénètre dans son écrou,

114, Si maintenant nous passons au mouvement continu d'un corps dans l'espace, nous pourrons le considérer de deux manières dijïérentes. En effet, nous avons vu que :

P Le mouvement élémentaire d'un corps peut être produit par une translation égale et parallèle au mouvement élémentaire de l'un des points du corps, et une rotation autour d'un axe passant par ce point. Si donc, on considère toujours le même point du corps, on aura le théorème suivant :

Théorème. — Le mouvement continu d'un corps dans r espace peut être produit par le roulement d'un cône invariablement lié au corps^ sur un cône qui est animé d'un mouvement de translation dans Vespace.

2° Si l'on considère l'axe instantané de rotation et de glissement, on voit que les différentes positions de cet axe dans l'espace, forment une surface réglée, et les positions qu'il occupe dans le corps forment aussi une surface réglée. On a le théorème suivant :

Théorème. — Le mouveynent continu d'un corps dans Vespace peut être considéré comme produit par le roulement d'une surface réglée liée au corps sur une surface réglée fixe dans l'espace, accompagné d'un glissement le long de la génératrice de contact.

La surface réglée fixe dans l'espace est le lieu des axes instantanés de rotation et de glissement ; la surface mobile est le lieu des droites qui viennent successivement coïncider avec les axes de rotation et de glissement.

115. Nous avons démontré que, quel que soit le mouvement d'un corps solide dans l'espace, on peut amener ce corps d'une position à une autre, en lui donnant un mouvement de translation qui amène un des points dans sa nouvelle position, et ensuite un mouvement de rotation autour d'un axe passant par ce point dans sa nouvelle position.

Nous avons aussi reconnu] que Ton peut faire passer le corps ,de sa première position à la deuxième d'une infinité de manières, en changeant le point dont on considère le mouvement de translation.

Nous allons maintenant démontrer que, quel que soit le point choisi, le ynouvement de rotation sera toujours le mê^ne.

Fig. 33.

Considérons trois points A, B, C du corps formant un triangle ABC invariablement lié au corps, et soit A'B'C le triangle dans sa nouvelle position (fig. 33).

Passons d'abord de la première position à la seconde en considérant le point A. Nous aurons : V une translation AA' qui amène le triangle ABC en A'BjC^ ; 2"* une rotation autour d'un axe passant par le point A'. Pendant cette rotation le point B^ décrira un parallèle d'une

sphère ayant son centre en A', puisque A'B^ « A'B'.; le point Cj décrira un parallèle d'une sphère ayant son centre en A', puisque A'Cj = AC Par conséquent, l'axe de la rotation sera une droite passant par A', et perpendiculaire aux droites C^C et BjB'.

Si Ton avait considéré le point B, nous aurions eu une translation BB' amenant le triangle ABC en A^B'Cg, et une rotation autour d'un axe passant par B', et perpendiculaire aux droites A^A' et C^C. Or, on a CgB' égal et parallèle à B^C^ ; donc, B^B' est égal et parallèle à C^Ci. Donc, Vaœe de rotation en A' est perpenâAculaire au plan C'CjC^.

D'autre part, k^C^ est égal et parallèle à AC^ : donc, AgA' est égal et parallèle à C^Cg, et, par conséquent, Vaœe de rotation en B' est perpendiculaire auplanCC^C^. Il résulte de là que les axes de rotation en A' et B' sont parallèles et perpendiculaires au plan C'C^Co.

Il reste à démontrer que les vitesses angulaires de ces deux rotations sont égales. Or, le déplacement autour de l'axe en A' est évidemment la projection sur le plan C'CjCg, perpendiculaire à l'axe de rotation, du déplacement BjA'B' dans l'espace, et le déplacement autour de Taxe en B' est la projection sur ce même plan du déplacement AjjB A' dans l'espace. Mais, les deux angles Bj AB' et AgB'A' sont égaux dans l'espace comme alternes internes ; donc, leurs projections sur un même plan sont égales. Par conséquent, les déplacements autour des axes en A' et B' sont égaux, et, par suite, les vitesses angulaires des deux rotations sont égales.

116. Propriété. — Le déplacement total d*un point quelconque du corps, estimé suivant Vaœe de rotation, est le même pour tous les points.

En effet, le déplacement total du point C, par exemple, est CC ; or, CC' est la résultante des deux

déplacements CCj et CiC. Donc, la longueur CC estimée suivant Taxe, c'est-à-dire sa projection sur Taxe, sera la somme des projections de ses composantes CC^ et G^G. Mais, la projection de C^C sur Taxe est nulle ; donc, le déplacement d'un point quelconque estimé suivant l'axe de rotation est égal à la projection sur cet axe de la translation de ce point. Or, la translation est la même pour tous les points du corps. Par conséquent, le déplacement total, estimé suivant l'axe, est le même pour tous les points.