CHAPITRE lY

Composition des mouvements simultanés

d'un corps solide.

Composition des translations.

119. Composition des translations. — Si un corps est animé de deux mouvements élémentaires de translation, chacun de ses points décrira la diagonale du parallélogramme construit sur les déplacements élémentaires dans les mouvements composants. Or, tous les parallélogrammes ainsi obtenus pour les différents points ont leurs côtés égaux et parallèles : il en est de même des diagonales qui sont égales et parallèles. Par conséquent, le déplacement résultant a même direction, même sens et même grandeur pour chaque point : c'est donc un mouvement de translation > On voit, en outre, que la vitesse du solide est déterminée en grandeur, direction et sens par la diagonale du parallélogramine construit sur les vitesses des mouvements composants.

120. Si un corps est animé àe plusieurs mouvements élémentaires de translation, le mouvement résultant sera une translation, dont la ^dtesse se déduira des vitesses des mouvements composants par la règle du polygone des vitesses.

121. Réciproquement, une translation peut être décomposée en trois translations parallèles à trois azes

rectangulaires ; les vitesses de ces translations seront les côtés du parallélipipède dont la vitesse* donnée sera la diagonale.

Composition des rotations.

0) ùi

122. Théorème. — Deux ou plusieurs rotations ^effectuant autour d'un même a^e se composent en une rotation unique dont la vitesse angulaire est égale à la somme algébrique des vitesses angulaires des rotations composantes.

Soient trois rotations w, «', «" autour de Taxe XY

(fig. 34). Imaginons un plan quelconque Xi f ( passant par l'axe XY,

1 \ \ ^ et soient m un point

1^ ^^ de ce plan, mn = r sa

^n distance à Taxe XY.

En vertu de la rotation w, le point m tend à s'élever au-dessus du plan et perpendiculairement à ce plan avec une vitesse :

V = (or.

En vertu de la rotation w', le point m tend à s'élever perpendiculairement au plan avec une vitesse :

xf = w'r.

En vertu de la rotation w", de sens contraire aux deux

précédentes, le point m tend à s'abaisser au-dessous du plan, perpendiculairement au plan avec une vitesse :

v'^ = wV.

Par conséquent, la vitesse du point m perpendiculairement au plan sera :

C'est la vitesse avec laquelle le point m tend à s'élever au-dessus du plan : or, cette vitesse V serait produite par une rotation £2 autour du même axe, et telle que Ton ait :

V = ûr.

On a donc :

ce qui démontre le théorème énoncé.

123. Composition des rotations autour d'axes CONCOURANTS. — Soit uu solide animé de deux rotations élémentaires autour de deux axes concourants, et soient «, w' les vitesses angulaires de ces deux rotations.

Soient OA, OB les deux axes de rotation (fig. 35), c'est-à-dire les droites qui représentent la position de l'axe, la grandeur de la vitesse angulaire et le sens du mouvement. Je dis que le mouvement résultant sera une rotation dont Vaœe sera représenté par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites OA et OB.

En effet, le point de rencontre des deux axes reste

Fig. 35.

fixe dans les deux mouvements composants ; par

conséquent, le mouvement résultant est une rotation autour d'un axe passant par le point 0.

Nous allons démontrer que cet axe est dirigé suivant la diagonale du parailélogram77ie, A cet effet, cherchons un second point de l'axe : je dis d'abord que ce point doit se trouver dans le plan des deux axes donnés. En effet, ce point doit rester immobile en vertu des deux rotations. Or, les deux composantes de la vitesse d'un point M situé en dehors du plan sont respectivement perpendiculaires aux plans MOA et MOB : elles ne sont donc pas dirigées suivant une même droite, et ne peuvent par conséquent pas se détruire. Donc, ce point est situé dans le plan des deux axes. De plus, il doit se trouver dans l'angle des deux axes, autrement ses vitesses ne seraient pas de sens contraires. Soit donc m un point à l'intérieur de l'aiigle AOB : les deux composantes de la vitesse de ce point sont perpendiculaires au plan AOB. En vertu de la rotation w, le point m s'abaisse au-dessous du plan, perpendiculairement au plan, avec une vitesse égale à (ùy, y étant la distance du point m à l'axe OA ; en vertu de la rotation w' le point «^ s'élève au-dessus du plan, perpendiculairement au plan, avec une vitesse égale à w'o?, œ étant la distance du point m à l'axe OB. Le point m sera donc immobile, si l'on a :

Or, cette équation exprime une propriété qui appartient à tous les points de la diagonale du parallélogramme, laquelle sera donc la direction de l'axe de la rotation résultante.

Reste à trouver 1 1 grandeur de la vitesse angulaire iî de la rotation résultante.

A cet effet, considérons un point n du plan des deux axes (flg. 35). En vertu de la rotation w, ce point n s'abaisse en-dessous du plan, perpendiculairement au plan, avec une vitesse égale à w . wa ; en vertu de la rotation «', il s'abaisse en-dessous du plan, perpendiculairement au plan, avec une vitesse égale à w' . nb. Donc, en vertu des deux rotations w et w', il s'abaisse avec une vitesse égale à :

w . na + w' . nb.

Désignons par û la vitesse angulaire inconnue résultante ; nous devrons avoir :

û . ne = w . na + w' • ^b. (1)

Or, dans le parallélogramme OACB, on a :

OC . ne = OA . na + OB . nb. (2)

Mais, par hypothèse, nous avons supposé :

OA=w, OB = a)';

donc, la formule (1) devient :

û . ne = OA . na -1- OB . nb. (3)

La comparaison des formules (2) et (3) nous donne û = OC pour la grandeur de la vitesse angulaire de la rotation résultante. On voit, en outre, que le sens de cette rotation est OC, puisqu'elle doit être telle que le point n s'abaisse en-dessous du plan.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — La rotation résultante de deux rotations concourantes est représentée en grandeur^ direction et sens par la diagonale du parallélogramme construit sur les axes des deux rotations données.

124. Corollaire. — Comme conséquences de ce théorème, nous aurons les relations suivantes :

w : w' : Û = sin (w', Û) : sin (w, û) : sin (w, w') , Û2 = (o2 -|- w'2 -|- 2(ow' ces (w, w') .

125. Il résulte de ce qui précède que des rotations en nombre quelconque autour daxes concourants se composent en une rotation unique représentée par la droite qui ferme le contour polygonal des axes des rotations composantes.

126. Trois rotations autour de trois axes concourants se composent en une rotation unique dont l'axe est la diagonale du parallélipipède construit sur les axes des rotations composantes.

127. Cas particulier. — Si les rotations sont rectangulaires, on a :

o)ic=(i>cosa,

tùz = iù cos Y-

128. Il résulte de là qu'une rotation peut être décomposée en trois rotations autour des trois axes rectangulaires.