Composition analytique d'un nombre
QUELCONQUE DE ROTATIONS AUTOUR d'aXES CONCOURANTS.
— Soient « (a, (3, y), «' (a', p', /), «" (a", fi", y")... les axes des rotations données. Nous pouvons décomposer la rotation w en trois rotations autour de trois axes rectangulaires, et nous aurons pour ces trois composantes :
w ces a, (i) cos p, <i> CCS y ;
faisant la même opération pour chacune des rotations données, nous aurons autour de raœedesœdes rotations w cos a, «'cos a',... qui se composeront en une rotation dont l'axe sera 2w cos « (n"" 122). De même, autour de l'axe des y, nous aurons une rotation dont l'axe sera 2w cos p, et autour de l'axe des z une rotation dont l'axe sera 2w cos y.
Ces trois, rotations autour de trois axes rectangulaires se composent en une rotation unique, telle que l'on ait(n° 127) :
ii? = (2w cos a)8 + (2(0 cos ^f + (Sw cos y,-.
En désignant par a, ft, c, les angles que l'axe û fait avec les axes coordonnés, nous aurons :
Ûcos a = 2(0 cos a, û cosô = 2(o cos (3, û cosc = 2(o cos y, d'où :
cosa^^!^, cos& = !^, cosc=.!^
Composition des rotations autour d'axes
parallèles.
130. Soit un solide animé de deux rotations de même sens autour de deux axes parallèles. Sous l'action de chacune de ces deux rotations « et w', chacun des points du corps se meut parallèlement à un plan perpendiculaire aux deux axes de rotation. Donc, tous les points du corps ont des vitesses parallèles à ce plan.
Par conséquent, le mouvement résultant est ou une translation parallèle à ce plan, ou une rotation autour
d'un axe perpendicu-
Fig. 36.
laire à ce plan, c'està-dire parallèle aux deux axes.
Dans ce dernier cas, nous pourrons déterminer cet axe, c'està-dire les points du corps qui restent immobiles sous l'action des deux rotations, ou bien dont la vitesse est nulle. Il est évident que ces points sont situés dans le plan des deux axes. Car, les composantes de la vitesse d'un point situé en dehors de ce plan ne sont pas dirigées suivant la même droite, et, par conséquent, elles ne peuvent pas se détruire. De plus, les points cherchés sont situés entre les deux axes ; autrement, ces composantes ne seraient pas de sens contraires. ; Soit donc m un point compris entre les deux axes
(fig. 36) : les deux vitesses de ce point sont de sens contraires — cùx et + tù'y, en désignant par œ et y les distances Awi et mB ; pour que ce point soit immobile, on doit avoir :
— (ûx -f- (ù'y = 0, d'où :
tox « (ù'y , ou bien :
X to'
Donc, le point m divise la droite AB en deux segments inversement proportionnels aux vitesses angulaires w et «'. On reconnaîtra facilement que tous les points de la parallèle aux deux axes, menée par le point m, jouiront de la même propriété d'être immobiles : cette droite est donc Taxe de la rotation résultante.
Cherchons la vitesse angulaire de cette rotation résultante. Soit n un point du plan des deux axes : en vertu de la rotation m, le point n s'élève au-dessus du plan, perpendiculairement à ce plan, avec une vitesse égale à « . nA ; en vertu de la rotation «', le point n s'élève avec une vitesse égale à w' . nB, Donc, sous l'action des deux rotations, le point n s'élève avec une vitesse égale à w , wA + w' . nB. Si l'on imagine que ù soit la vitesse angulaire résultante, de même sens que les deux autres ^ , le point n s'élèverait, en vertu de
1. EUe doit être de mémo sens, puisque sous l'action des deux rotations simultanées le point n s'élève au-dessus du plan.
cette rotation avec une vitesse égale à û . mn, et l'on aurait :
Or, on a :
nB = mn + y, nA = mn — a? ;
par suite,
û . mn « w (mn — a?) + to' (mn + y) ;
d'où, en vertu de la relation wo? == «'y.
û . mn = 0) . mn + w' . mn,
et enfin :
On a donc le théorème suivant :
Théorème. — Deuœ rotations parallèles et de même sens se composent en une rotation de même sens que les rotations proposées, autour dun aœe parallèle aux accès des rotations composantes, situé dans leur plan et comprHs entre ces deuœ aœes, dont les distances à ces axes sont en raison inverse des vitesses angulaires correspondantes. La vitesse angtdaire de la rotation résultante est égale à la somme des vitesses angulaires des deux rotations composantes.
