mn — (i) {7nn + œ) — to' (mn -f y) = (w — co') mn

d'où :

Il résulte aussi de ce que la vitesse résultante est « . wA — w' . nB = (« — w') mn, que la vitesse angulaire ii doit être de même sens que w, puisque « . mn > «' . mn. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Deux rotations parallèles et de sens contraires se composent en une rotation autour âCun axe parallèle aux axes des rotations composantes, situé dans le plan de ces deux axes^ en dehors de la portion du plan comprise entre ces axes, du côté de Vaxe corres^ pondant à la plus grande vitesse angulaire. La rotation résultante a lieu dans le sens de la plus grande, et sa vitesse angulaire est égale à la différence des vitesses angulaires des rotations composantes ; les distances de raxe résultant aux axes composants sont en raison inverse des vitesses angulaires correspondantes.

132. Remarque. — Il est facile de voir que, dans le cas où les deux rotations parallèles sont de même sens, on a :

0) : w' : iî = 2/ : a: : a? -f y.

ou bien :

w : (i)' : û =- mB : mA : AB.

Dans le cas où les deux rotations sont de sens contraires, on a :

(ù : lo' : Q '^ y : X : y ^ X,

ou bien :

G) : G)' : 12 = mB : mA : AB.

De cette dernière relation, on tire :

0)' : Û =» mA : AB,

mA == AB . -rr = AB .

équation qui détermine la position du point m.

133. Cas particulier. — Si les deux rotations parallèles et de sens contraires sont égales, c'est-à-dire si l'on a w' — = û), la rotation résultante 12 = 0, et l'on a m A = oo. Ainsi donc, la rotation résultante est nulle, et elle ^effectue autour d'un axe situé à Vinfini. Le mouvement résultant sera donc une translation perpendiculaire au plan des axes des rotations composantes.

On peut d'ailleurs s'en assurer directement de la manière suivante : Soient « la vitesse angulaire des deux

rotations, et m un point quelconque ^''^' ^^' du plan des deux axes (fig. 38). En

vertu de la rotation «autour de l'axe A, le point m tend à s'abaisser B au-dessous du plan, perpendicucj lairement au plan, avec une vitesse w . mk ; en vertu de la rotation « autour de l'axe B, il s'élèvera audessus du plan avec une vitesse w . mB. Donc, sous l'action des deux rotations, le point m s'élèvera avec une vitesse constante :

(ù {mB — mA) = « . AB.

CÙ

Il est facile de voir que cette vitesse sera la même, quelle que soit la position du point m dans le plan des deux axes, soit en dehors, soit en dedans de ces axes. Il résulte donc de là que tous les points du plan se meuvent perpendiculairement à ce plan avec une vitesse constante « . AB.

Doiic, fe zy^ème de deux rotatmis égales et de sens contraires^ autour de deux axes parallèles j équivaut à une translation perpendiculaire au plan des axes des deux rotations^ et dont la vitesse est égale au produit de la vitesse angulaire commune y multipliée par la distance des deux axes.

Ce système de deux rotations égales, parallèles et de sens contraires constitue un couple de rotations. La distance AB des deux axes s'appelle le bras de levier du couple ; le produit w . AB est le moment du couple.

Un couple de rotations équivaut donc à une translation^ perpendiculaire au plan du couple, et dont la vitesse est égale au moment du couple.

134. Composition de plusieurs rotations autour d'axes parallèles. — Si un corps est animé à la fois d'un nombre quelconque de rotations autour d'axes parallèles, on composera d'abord en une seule toutes les rotations qui ont lieu dans un sens ; on fera la même chose pour les rotations qui ont lieu en sens contraire. On aura ainsi deux rotations de sens contraires autour d'axes parallèles ; en composant ces deux rotations (n° 131) on aura une rotation autour d'un axe parallèle, ou, dans le cas du couple, une translation perpendiculaire au plan des deux axes.

Remarque. — Si les deux rotations égales et de sens contraires s'effectuent autour du même axe, elles se détruisent.

135. Propriétés des couples de rotations. — r® propriété. — Un couple de rotations peut être représenté par son axe. On appelle axe du couple une perpendiculaire au plan du couple : si Ton prend sur cette perpendiculaire, menée dans le sens de la translation^ une longueur proportionnelle au moment du couple, cet axe représentera le couple ou la translation en grandeur, direction et sens.

2® PROPRIÉTÉ. — Un couple de rotations peut être transporté d'une manière quelconque dans son plan ou dans un plan parallèle invariablement lié au premier. En effet, tous ces couples équivalent à une même translation perpendiculaire à ce plan. Ils sont donc équivalents.

3® PROPRIÉTÉ. — On peut changer à volonté la grandeur de la vitesse angulaire w, et la distance $ des deux axes ; pourvu que le produit w^ reste le même, l'effet du couple restera le même.

4® PROPRIÉTÉ. — Réciproquement, on peut remplacer une translation par un couple de rotations dont le plan est perpendiculaire à la direction de la vitesse de translation. Ce plan peut être mené par un point quelconque de l'espace, invariablement lié au corps. On prendra, comme on voudra, dans ce plan la direction des axes, et l'on prendra, comme on voudra, la vitesse angulaire w et la distance (î, pourvu que l'on ait :

V étant la vitesse de translation.

136. Remarque. — Il est bien entendu que la substitution dun couple de rotations à une simple translcition n'est employée que comme un artifice de raisonnement pour simplifier la solution des problèmes.

Composition des couples de rotations.

137. Théorème. — Un nombre quelconque de couples de rotations^ situés dans un même plan ou dans des plans parallèles^ invariablement liés entre eux, se composent en un couple unique dont le moment est égal à la somme des moments des couples composants.

En effet, les couples donnés wrf, w'rf'..., peuvent être transportés dans un seul plan parallèle à ceux qui les contiennent (n° 135). Ils produiront une translation dans une direction perpendiculaire à ce plan, avec une vitesse V égale à la somme algébrique des vitesses relatives aux couples composants, et nous aurons :

si donc nous désignons par ÛD le couple de rotations capable de produire la vitesse V, nous aurons :

ce qui démontre le théorème énoncé.

138. Théorème. — Trois couples de rotations situés dans t?*ois plans perpendiculaires entre eux, se composent de la 7nême manière que trois vitesses concourantes.

En effet, chacun des couples tend à transporter le plan qui le contient suivant une direction perpendiculaire à ce plan, avec une vitesse égale au moment du

couple ; nous aurons donc trois vitesses parallèles aux trois axes coordonnés, qui se composeront en une vitesse V, donnée par la formule :

Or, si W est le couple de rotations capable de produire la vitesse V, nous aurons :