W2 = L« + W +. NS

L, M, N étant les trois couples donnés capables de produire les vitesses Yx^ Vy, V^.

Quant aux angles ^, /^, y que l'axe de ce couple fait avec les axes coordonnés, ils sont déterminés par les formules :

cosX = -;^ = ^, cosa=— = — , cosu= — = ^.

139. Réciproquement, un couple W étant donné, on peut le remplacer par trois couples situés dans trois plans orthogonaux.

140. Théorème. — Un nombre quelconque de couples, situés dans des plans quelconques, se composent en un couple unique.

En effet, les couples étant représentés par leurs axes, on pourra par un point quelconque, former un contour polygonal dont les côtés seront respectivement égaux et parallèles à ces axes. La droite menée du point à l'extrémité du contour polygonal sera égale en grandeur, direction et sens, à l'axe du couple résultant.

141. Remarque. — On peut d'ailleurs faire la composition analytique de ces couples de la manière suivante :

On décomposera chacun des couples donnés w (a, (3, y), i«?'(a', P', y), ..., en trois couples situés dans les trois plans coordonnés :

Wx = w ces a, Wy ^= w ces ^ Wz = w ces y, Wx=io'cosol\ tc?'y = t^'cosP', w'z=w'cosY, etc.

On aura donc dans les trois plans coordonnés (n° 137) les trois couples :

Wx = ItOx = Iw ces a,

Wy = IWy = It^COS^,

W» = 2t«?a =2'W?cosy.

Ces trois couples se composeront en un couple unique W donné par la formule (n*" 138) :

W2 = Wx^+Wy«4-W»2 =(2w7COSa)2+(2w?cosP)«+(2w?cos7)2.

Quant aux angles A, /x, u que l'axe W fait avec les axes coordonnés, ils sont déterminés par les formules :

. __ Wa; 2^^ ces g

COS|yi=«

Wy Iw ces ,3

W, Iw COSy COSU =-=T7- = L

Fig. 39.

142. Transport d'une rotation parallèlement a ELLE-MÊME. — On peut remplacer une rotation « par une autre égale à la première, dont l'axe parallèle au premier, passe par un point donné invariablement relié à l'axe primitif, pourvu que l'on introduise un couple de rotations dont le moment soit égal à la rotation w multipliée par la distance des deux axes. Ce couple

produira une translation perpendiculaire au plan des deux axes.

Soient une rotation w autour de l'axe AB (fig. 39), un point donné, et CD une parallèle à AB, menée par le point 0. Introduisons autour de CD deux rotations égales à w et de sens contraires : le système ne sera pas modifié, puisque ces deux rotations se détruisent. Le nouveau système se composera alors d'une rotation w, de même sens que la première, autour de l'axe CD, et d'un couple de rotations dont le moment sera égal à 6)p, p étant la distance des deux axes.