CHAPITRE V

Composition d'une rotation et d'une translation.

143. Supposons d'abord la translation perpendiculaire à l'axe de rotation. Soient « la vitesse angulaire

de la rotation, v la ^^ *^* vitesse de la transla-

>^^ tion (flg. 40).

Projetons sur un plan perpendiculaire

à l'axe de rotation,

et soit la projection de cet axe, la flèche indiquant le sens du mouvement. Menons une droite Ox perpendiculaire à la direction de la vitesse v de translation, et prenons sur Ox un point m, tel que l'on ait :

Om «= —,

et que ce point, considéré comme tournant autour de 0, prenne un mouvement inverse de celui qu'il prendrait en vertu de la translation. Ceci posé, en vertu de la rotation, le point m s'abaisse sur une perpendiculaire à Ox avec une vitesse égale à « . Om, et, en vertu de la translation, il s'élève sur cette perpendiculaire avec une

vitesse égale à v. Or, comme on a : « . Om == v, il en résulte que le point m est fixe. Il en serait de même de tous les points de la droite projetée en m. Le mouvement résultant est donc une rotation autour d'un axe parallèle à l'axe du mouvement proposé, et situé dans un plan passant par cet axe, et perpendiculaire à la vitesse de translation.

Cherchons maintenant la vitesse angulaire w' de ce mouvement. A cet eflfet, considérons un point quelconque n : en vertu de la rotation, ce point s'abaisse sur une perpendiculaire à Ox avec une vitesse égale à «.On, et, en vertu de la translation, il s'élève sur cette perpendiculaire avec une vitesse égale à v. Donc» la vitesse de ce point est :

.On — t? «= w (Om 4- mn) — t? — « . mn.

Or, ce produit « . mn est évidemment de même signe que « . On ; donc, le point n tend à s'abaisser sur une perpendiculaire à Ox^ et, par suite la rotation inconnue «' doit être de même sens que la rotation «• Mais, en vertu de la rotation <J autour de l'a^e projeté en m, le point n s'abaisserait au-dessous de Ox avec une vitesse égale àw'.mn. Ces deux vitesses devant être égales, on a :

w' . mn =» (ù . mn.

Par suite :

Cd' >^= CD.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Une rotation et une translation perpendiculaire à la rotation se composent en une rotation 'de même sens que la rotation proposée, dont Vaxe est

parallèle à Vaxe de la rotation proposée, situé dans un plan passant par cet axe et perpendiculaire à la vitesse de translation^ à une distance de l'axe de rotation égale au quotient de la vitesse de translation par la vitesse de rotation. La vitesse angulaire de la rotation résultante est égale à la vitesse angulaire de la rotation proposée.

144. Supposons, en second lieu, que la rotation s'effectue autour d'un axe non perpendiculaire à la direction de la translation. Soient OA l'axe de la rotation « et i? la vitesse de translation suivant OB.

Décomposons la vitesse v en deux, composantes v et v" suivant A et une perpendiculaire Ox à OA, dans le plan AOB ; nous aurons donc :

t?' = î? ces a,

t?" -* V sin a.

Cela posé, la rotation « et la translation v" qui lui est perpendiculaire se composent en une rotation autour d'un axe O'A' parallèle à OA, et situé dans un plan passant par OA et perpendiculaire à la translation v'\ La vitesse angulaire de cette rotation sera w (n** 143), et son axe sera à une distance 00* du premier, telle que l'on ait :

w . 00' = V sin a.

Nous aurons donc alors une rotation o autour de O'A' et une translation v' dirigée suivant cet axe.

Le mouvement résultant sera un mouvement hélicoïdal {n^ 113). On a le théorème suivant :

Théorème. — Une rotation et une translation dont les axes ne sont pas perpendiculaires se composent en

une rotation égale à la rotation proposée^ dont Vaxe 'parallèle à Vaxe de la rotation donnée est situé dans un plan passant par l'axe de la rotation primitive^ perpendiculaire au plan des deux axes^ à une distance du

premier égale à , et une translation le long du

même axe.

Il est facile d'obtenir la vitesse dun point quelconque du corps. En eflFet, si l'on désigne par r la distance du point considéré à l'axe de rotation et de glissement, les deux composantes de la vitesse de ce point sont t?' et wr, et comme elles sont perpendiculaires, la vitesse résultante sera égale à |/î7M-'wV".

145. Remarque. — Les deux questions que nous venons de traiter peuvent être posées d'une autre manière, en remplaçant la translation par le couple de rotations qui lui est équivalent.

Dans le premier cas (n^ 143), nous aurons à composer une rotation et un couple de rotations situés dans unmême plan. Soient donc une rotation « et un couple w'cP situés dans un même plan ; nous remplacerons d'abord le couple

(ù'a (flg. 42) par

Fig. 42.

un couple û)d équivalent , dont la vitesse angulaire soit égale à la rotation donnée « .

Le bras de levier cy de ce couple sera déterminé par la formule :

(ùd == iù'd'.

Transportons ensuite ce nouveau couple dans son plan, de manière à faire coïncider avec « celle des deux

rotations du couple qui est de sens contraire à la rotation donnée «.

Ces deux rotations égales et de sens contraires autour d'un même axe se détruisent, et il reste la rotation w parallèle à la rotation primitive, et à une distance AB = d de celle-ci, donnée par la formule :

Cû'rf'

Cl)

Ce résultat est conforme à celui que nous avons obtenu précédemment (n*" 148). On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Une rotation et un couple de rotations situés dans un même plan se composent en une rotation égale à la première^ autour d'un axe situé dans ce plan,

parallèle au premier^ et à une distance d =

tù

Fig. 43.

Dans le second cas (n° 144), nous aurons à composer une rotation et un couple de rotations non situés dans un même plan.

Soient donc w l'axe de la rotation, et («', w') le couple de rotations situé dans le plan MN. Nous pourrons

transporter le couple dans le plan MN, de manière que l'un des deux axes rencontre l'axe de la rotation &> (flg. 43). Alors, les deux rotations concourantes w et 6)' se composent en une rotation û non située dans le plan MN, et le système est ramené aux deux rotations w' et Û autour de deux axes non situés dans un même plan. Il est d'ailleurs

évident que cette composition peut être faite d'une infinité de manières diflférentes.

146. Réciproquement, deux rotations autour de deux axes non œnœuranis se réduisent à une rotation et un couple de rotations non situés dans un même plan^ ou bien à une rotation et une translation.

Soient w et «' les rotations autour des axes OB et O'A (fig. 44). Par le point 0, menons un axe A'A" parallèle

à O'A, et imaginons autour de cet axe deux rotations égales à (ù* et de sens contraires ; le . système ne sera pas modifié.

Mais, les deux rotations w et (ù' concourantes en se composeront en une rotation unique û, et, par conséquent, le système se ramène à cette rotation û, et au couple (&>', &>'). Or, ce couple pourra être remplacé par une translation perpendiculaire à son plan (n° 133), et la proposition est démontrée.

Composition d'un nombre quelconque

de rotations.

147. Théorème. — Un nombre quelconque de rotations s' effectuant autour de différents axes dirigés d'une manière quelconque dans Vespace, se composent en une rotation unique, et un couple de rotations non situés dans un même plan.

En effet, si nous transportons tous les axes parallèlement à eux-mêmes en une même origine de l'espace, nous obtenons, pour chaque rotation, une rotation et un couple de rotations (n*" 142). Nous aurons donc une série de rotations w, »', «"..., dont les axes passent par l'origine, et des couples de rotations «d, w'rf'..., dont les plans passent par l'origine. Toutes les rotations w, w'..., se composent (d'après la règle du polygone) en une rotation unique Q dont l'axe passe par l'origine (n** 125), et tous les couples se composeront en un couple unique Wr (n^ 140).

Donc, en résumé, le système se ramène à une rotation et un couple de rotations, ou bien à une rotation et une translation.

148. Remarques. — P Si û == 0, le système se réduit à un couple de rotations Wr, ou à une translation.

2** Si Wr = 0, le système se ramène à une rotation unique û.

iV" Si û = 0, et Wr = 0, la rotation est nulle, ainsi que la translation. Le corps ne prend aucun mouvement ; il est donc au repos.