MÉTHODE ANALYTIQUE. — Soicut « (a, (3, y

«' (a', (3', y'). . . les rotations proposées, m (a?, y, z) un point pris sur l'axe mA de la rotation w (fig. 45) ; wj., «y, w, les composantes de w, et supposons les rotations positives des y vers les Zj des z vers les a? et des œ vers les y. Au lieu de transporter la rotation w à l'origine, nous transporterons ses trois composantes Wa, «y, »«. La translation de «a; à l'origine peut se faire en la transportant d'abord en n, projection de m sur le plan des œy^ puis ensuite en n'. Or, la translation de «a? ^^ w nous donne la rotation w^., et le couple Wa?.^, situé dans un plan parallèle au plan des zœ, ou dans le plan des zœ^ et

qui produit une translation perpendiculaire au plan

des zœ^ dans le sens ^''^'^^' des y positifs: il

est donc positif. La translation de w^. de n en n', nous donne une rotation o^j dont Taxe passe par l'origine, et un couple «a-.y dans le plan « des xy, et qui produit une translation perpendiculaire au plan des ooy dans le sens des z négatifs :

il est donc négatif.

On verrait de la même manière que la translation de Wy à l'origine, en passant par le point n, nous donne :

V autour de l'axe des y, une rotation «y,

2^ dans le plan des yz un couple négatif — zcù^^,

3^ dans le plan des ocy un couple positif + a?«y ; enfin, la translation de «^ à l'origine, en passant par le point n", projection de m sur le plan des yz, nous donne :

V autour de l'axe des z une rotation «*,

2** dans le plan des zoo un couple^négatif — a?w*, 3** dans le plan des yz un couple positif + yw».

En opérant de la même manière pour toutes les rotations proposées, nous aurons des résultats analogues, c'est-à-dire des rotations autour des axes et des couples dans les plans coordonnés.

Nous aurons donc, en composant:

autour des axes coordonnés (n^^ 122) trois rotations :

Qy =3 2<ùy = 2«cosp,

et, dans les trois plans coordonnés (n"" 137) trois couples de rotations, savoir :

V dans le plan des yz, le couple

Lr «=» 2 (y», — z(ùy) = 2» (y cos y — z cos |3),

2^ dans le plan des zœ, le couple

Mr = 2 (^ûa-c — a?M,) «= 2&) (^ cos a — a? cos y) ,

3"^ dans le plan des œy, le couple

Nr *= 2(a7Wy — ywj) « 2a)(a?cosP — ycosa).

Nous aurons donc, en résumé, une rotation :

dont l'axe est déterminé par les formules :

cosa«=«-^> cosô«=-T^» cosc = --pr-»

et un couple de rotations

dont l'axe est déterminé par les formules :

^ Lr Mr Nr

C0SX = ^, COSf. = ^. cosu-^.

150. Remarques. — Le système se réduit à une rotation unique, lorsque l'on a : Wr = 0, c'est-à-dire

Lr^ 0, Mr= 0, Nr »= 0.

Le système se réduit encore à une rotation unique, (n^ 145) lorsque l'axe de la rotation Q est dans le plan du couple Wr, c'est-à-dire lorsque l'axe Û est perpendiculaire à l'axe Wr. Cette condition est exprimée par la formule :

cosacos X -f cos 6 ces fx + cosccos u = ,

ou bien :

Lr . Û-j. + Mr . Ûy + Nr . Û, = 0.

Le système se réduit à un couple de rotations, lorsque Ton a û = 0, c'est-à-dire :

Enfin, si l'on a en même temps :

la rotation est nulle, ainsi que le couple de rotations. Le corps ne prenant aucun mouvement est au repos. Les équations :

Û = 0, Wr=0,

nous donnent les suivantes :

Lr=-0, Mr = 0, Nr=0.

Ce sont les six équations qui expriment le repos d'un corps solide animé de rotations autour âJaxes quelconques de Vespace.