Proposons-nous maintenant, dans le cas où le
système se ramène à une rotation unique, de trouver les éqtmiions de Taxe de rotation.
Soient û^ la vitesse angulaire de cette rotation unique, a, ô, c les angles que Taxe de cette rotation fait avec les axes coordonnés. Il est évident, puisque û^ est la rotation résultante, qu'il y aura équilibre entre les rotations «, w', w"..., et — û^. Donc, la composition de toutes ces rotations autour de l'origine, nous donnera une rotation nuUe et un couple nul.
Désignons par œ^, y^, z^ les coordonnées d'un point quelconque de l'axe H^. La translation de m, w', w"... à l'origine nous donne les rotations ûx, û^, û*i et les couples de rotations L^, Mr, Nr.
D'autre part, la translation de — û^ à l'origine, nous donne les rotations — û<,cosa, — û^cosô, — û^cosc, et les trois couples de rotations :
— û^ (yo cos c — ^0 cos J),
— Ûq (Zq cos a — a?o cos c),
— û^ (â?o cos & — ^0 ^os a).
Nous aurons donc les six équations suivantes :
2û) cos a — Q^ cos a = 0, 2û)CosP — û^cos 6 = 0, ) (A)
2(ùC0Sy — û^ cos C — 0,
hr — ûo fyoCOSC-->3roCOS&) = 0,
Mr — Ûq (^0 c<^s u—Xq cos (?) = 0, } (B)
Nr — ûo (^0 ^osJ — 2/o cosa) = 0.
Les trois premières nous donnent la rotation résultante :
Ûo — |/(2w ces a)2 + (2a) ces p)^ + (2« cos y)*,
et les angles a, &, c, qu'elle fait avec les axes. Les trois dernières expriment des relations entre les
coordonnées a?o, y^, z^, d'un point de l'axe û^. Or, il est facile de voir que ces trois équations se réduisent à deux : il suffit, pour cela, de les multiplier respectivement par Swcosa, 2cdcos(3, Iwcosy, ou par û^cosa, û^cosJ, Û^cosc, et de faire la somme. On obtient ainsi l'identité :
Lr 2» cos a + Mr 2m cos p + Nr 2û) cos y = 0,
le premier membre .étant identiquement nul, puisque, par hypothèse, le système se ramène à une rotation unique. Les trois équations (B) se réduisent donc à deux qui sont les équations de l'axe de la rotation résultante.
Propriétés de Taxe central.
152. Etant données n rotations, si on compose ces rotations successivement autour de diflFérentes origines, on obtient pour chaque origine une rotation et un couple de rotations. Nous allons démontrer que, pour toutes ces origines, la rotation conserve la même vitesse angulaire, et que son aœe conserve la mêine direction, le couple unique seul change avec V origine.
En eflfet, supposons qu'en une origine 0, nous ayons
obtenu une rotation Q et un couple W (fig. 46). Pour composer le système proposé autour de l'origine 0', il suffit évidemment de transporter en 0' le système û, W.
Or, il est facile de voir ^*^' *^* qu'après cette trans-
lation, la rotation û n'aura pas changé, le couple sera diflférent de W. En eflTet, le couple W se transporte en 0', sans altération (n° 135).
L'axe Q se transporte en 0' en engendrant un couple Qd (n"" 142) dont l'axe est perpendiculaire au plan ÛOO'. Mais les deux couples W et Qd se composent en un couple unique W, dont l'axe est donné par la formule :
W'« = W» -t- (Ûrf)2 + 2 W (Qd) cos (W, Qd).
Ce couple W sera donc différent de W, plus grand, ou plus petit.
153. Proposons-nous maintenant de déterminer r origine pour laquelle le couple unique sera minimum.
Evidemment, cette origine jouira de cette propriété que si l'on passe de cette origine pour laquelle on a la rotation û et le couple W, à une autre origine de l'espace, on doit obtenir un couple W plus grand que W. Or, je dis que Vorigine pour laquelle le couple est minimum sera telle qu'en cette origine y Vaxe du couple coïncide avec Vaœe de la rotation.
Il suffit de démontrer que, si l'on passe de cette origine à une origine 0' quelconque, le couple W sera plus
grandqueW. Soientdonc, pour l'origine (flg. 47), Wl'axe du couple et û la rotation dont Taxe coïncide avec l'axe
du couple. Si de l'origine . nous passons à l'origine 0', le couple W se transporte parallèlement à lui-même sans altération ; quant à la rotation Û, elle nous donnera, par sa translation en 0', un couple Qd dont l'axe est perpendiculaire au plan de ce couple, donc à la droite O'W qui passe par son pied dans ce plan.
Nous aurons donc en 0' deux couples W et Hd dont les axes sont perpendiculaires, et qui se composent en un couple unique W, donné par la formule :
W'2 = W2 + (Ûrf)«.
Par conséquent, W>W, et la proposition est démontrée. Or, si nous considérons toutes les origines prises sur la droite OW, nous aurons pour chacune d'elles le même couple W et la même rotation û. Donc, il y a une infinité d'origines pour lesquelles le couple est minimum. Ces origines sont situées sur une droite que l'on appelle axe central.
