DÉTERMINATION DE L'aXE CENTRAL. — SuppOSOUS
que nous ayons en une origine un couple W et une rotation û, dont les axes font un angle cp (flg. 48), et cherchons une origine 0' pour laquelle le couple est minimum. Il faut évidemment que la nouvelle origine satisfasse à la condition que le couple Qd engendré par la translation de û en 0', soit tel que, composé avec W,
Fig. 48.
il nous donne un couple G dont l'axe soit dirigé suivant li. Si donc ÛOO' est dans le plan du tableau, et W en
avant de ce plan, il faudra que Taxe Qd soit derrière ce plan. De plus, l'origine 0' devra se trouver sur une perpendiculaire au plan de rangle (f; en effet, l'axe du couple Qd doit se trouver dans le plan de l'angle <p. Menons donc par le point une perpendiculaire au plan de l'angle 9, et soit 00' = d la distance inconnue des deux origines. Le couple W se transporte en 0' sans altération ; la translation de Û engendre le couple Qd dont l'axe est perpendiculaire au plan du tableau, et derrière. En construisant un parallélogramme dont nous connaissons le côté W en grandeur et direction, le côté Qd en direction, et la diagonale G en direction, nous aurons :
G : W : Ûc? = sin (90<> + ç) : sin 90° : sin 9,
ou bien :
G : W : ûd = CCS 9 : 1 : sin q.
On en tire :
G = W cos (p, Qd = Wsiïi(p.
On a donc pour la distance d de la nouvelle origine 0' sur une perpendiculaire au plan de l'angle 9 :
, W sln œ
et le couple minimum est donné par la formule :
G = W ces (p.
Par conséquent, pour avoir 0', on doit élever au plan de l'angle <p une perpendiculaire sur laquelle on prendra
1 r\r\^ W sin 9
une longueur 00' = - ^ •
en menant par ce
point 0' une parallèle à û, on aura Vaxe central.
155. MÉTHODE ANALYTIQUE. — Proposons-uous de trouver le lieu des points de Vespace pour lesquels le couple de rotations est un minimum.
Soient 0' un point du lieu (flg. 49), a?^, y^, z^ ses coordonnées. Prenons ce point pour origine de trois axes rectangulaires Oœy's^ parallèles aux axes Oocyz. Soient Wr le couple résultant pour l'origine 0, L^, Mr, Nr
ses couples composants.
Fig. 49.
Nous aurons :
Lr == 2W (ycosy — ;3:cosP),
Mr= 2(â) (^cosa — a^cosy),
Nr =2(1) (iTcosp — y cosa),
en désignant par œ, y, z, les coordonnées d'un point
m de l'axe d'une rotation » («, ^,7).
Soient afy y\ t! les coordonnées du point m relatives
aux nouveaux axes, Wr le couple résultant relatif à
l'origine 0', LV, MV, NV ses couples composants. Nous
aurons évidemment :
L'r == loi (y' COS y — Z' COS P), M'r -= 2)0) {Z' COS a — X' COS y), N'r = i« (a;' COS ,3 — y' COS a) ;
mais, on a :
x^x' + œ^, tj^y' + y^, z =^ z' + z^, et, par suite,
L'r = 2» } {y — yj cos 7 — (5 - ^J cosp j , MV = 2w j U — ^ J COS a — (iT — a^o) COS y \ , N'r = l(ù \ (x^Xq) cos^ — {y — y^) cos a { .
En développant, il vient :
L'r = Lr — Vo^z + ^ii ûy ,
M'r ^Mr—z^Q,x+ a^^Qz ,
N'r == Nr —X^Qy+ y^ùx .
Par conséquent, le couple W'r relatif à l'origine 0' sera donné par la formule :
W7 = L'r^ + MV + N'r^ = f{Xo, y„ z,).
Or, si 0' est un point du lieu, WV sera un minimum» et l'on devra avoir :
dXç, dy^ dz^
nous aurons donc les trois équations suivantes :
M'r.Ûs — NV.Ûy = 0, LV . Ûy — MV . Ûo; = 0,
qui se réduisent à deux, et que Ton peut écrire sous la forme suivante :
LV MV ___ NV ou bien :
ii^; ^y 12z
Ce sont les équations de raœe central.
156. Problème. — Un corps solide étant animé d'un niouvenient de rotation autour d'un axe instantané, on demande de déterminer les co^nposantes rectangulaires de la vitesse linéaire d'un point m de ce corps^ suivant des parallèles aux axes coordoymés^ en fonction des coordonnées x, y, z de ce point, et des coynposantes p, q, r de la vitesse angulaire.
A cet effet, nous allons considérer successivement les trois mouvements correspondant aux rotations jo, q, r.
En vertu de la rotation p autour de Taxe Oo?, le point m se meut dans un plan perpendiculaire à Ç>x, c'est-à-dire parallèle au plan des yz ; ce mouvement
Fig. 60.
s'effectue des y vers les z. Considérons donc le plan en
question ykz (fig. 50), et prenons les composantes de la vitesse correspondante, parallèlement aux axes ky et A.3:. La vitesse circulaire du point m dans le plan ykz est égale à la vitesse angulaire p, multipliée par la distance km == p de ce point à l'axe des X, Elle est donc égale à pp, et dirigée des y vers les z. Or, cette
dernière se décompose en deux composantes parallèles
respectivement à kz et ky, savoir :
parallèlement à A^ : pp cos a = joy, » k ky\ — 7?p sina = — ^pz.
De même, si nous considérons le plan dans lequel le point m se meut en vertu de la rotation q autour de Taxe Oy, ce plan est parallèle au plan des zx, et la rotation s'effectue des z vers les x. La vitesse circulaire du point m est égale à gp', en désignant par p' la distance du point m à l'axe des y : elle est dirigée des z vers les x. Ses composantes parallèles aux axes sont :
parallèlement à Taxe des x : qz,
z : — qx.
Enfin, en vertu de la rotation r autour de l'axe 0^, le point m se meut dans un plan parallèle au plan des xy, et des X vers les y. La vitesse circulaire du point m sera rp", en désignant par p" la distance du point à l'axe des Z; cette vitesse est dirigée des x vers les y, et ses composantes sont :
parallèlement à Taxe des y : rx,
x: — ry.
Nous aurons donc, suivant Taxe des x, la vitesse qz — rt/y et, par conséquent.
dx
de même, suivant les deux autres axes, on a :
dy "Oy^-^^-^rx-'pz,
dz Vz^-^^=py-qx.
Ces trois expressions se transforment l'une dans l'autre par une permutation tournante.
On en déduit pour la vitesse v du point m :
tj2 = {(jz — ryY 4- (rx — pzf + [py — qocY-
