CHAPITRE VL

Mouvement relatif.

157. Pour étudier le mouvement d'un point, on rapporte sa position à celle de points de repère qui constituent le système de comparaison. Ce système doit être de forme invariable, mais sa position peut ne pas être invariable. Si le système de comparaison est fixe,

le mouvement du point est dit mouve^nenû absolu. Si le système de comparaison est mobile, on appelle mouvement apparent ou relatifs le mouvement que Ton trouve en comparant les positions successives du point mobile aux positions variables des points de repère. Ce mouvement est celui qu'un observateur, emporté par le mouvement du système de comparaison-, sans avoir conscience du mouvement qu'il éprouve, attribuerait au point mobile. De là le nom de mouvement apparent. Le mouvement du système de comparaison est appelé 'inouvement d'entraînement.

158. Problème. — Déterminer le mouvetyient absolu d'un point, connaissant le mouvement d'entraînement du système de comparaison, et le mouvement apparent

du mobile.

Soient AB (fig. 51) la trajectoire apparente du mobile à un instant déterminé, M la position du mobile à cet

instant. Au bout d'un certain temps, Fig. 51. 1^ trajectoire est venue en A'B', le

point M en M'. Mais, pendant ce même temps, le mobile, en vertu de son mouvement apparent, a dû se déplacer sur AB d'une longueur égale à 5. Si Ton porte cette longueur sur A'B' en M'M", on aura la position réelle du mobile en M", à la fin du temps considéré.

Si le déplacement est infiniment petit, M'M" fait avec AB un angle infiniment petit : le déplacement élémentaire du mobile est donc la résultante de ses déplacements élémentaires dans le mouvement apparent (ou relatif) et dans le mouvement d'entraînement. On en conclut le théorème suivant :

Théorème. — La vitesse du mouvement absolu est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraî-ne7nent.

159. Remarque I. — Si l'on donne (^n grandeur et en direction la vitesse absolue et la vitesse d'entraînement, on pourra en déduire la vitesse relative. En effet, il est évident que la vitesse relative Mvr (fig. 52)

Fig. 52.

sera égale et parallèle à la droite VeVa qui achève le triangle MveVa. Ainsi donc, connaissant Va et Ve on on pourrait construire Vr en joignant VeVa.

D'ailleurs, on peut encore observer que la vitesse du mouvement relatif est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse ^entraînement prise en sens contraire* En effet, si l'on prend Mv'^ = ^Ve, et dirigée en sens conti^aire, la figure ^VaVrc'e est un parallélogramme dont Vr sera la diagonale.

Remarque II. — On peut aussi vérifier que la vitesse d'entraînement est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse relative prise en sens contraire.

160. Problème. — Déterminer V accélération du mouvement absolu, connaissant le mouvement relatif , et le mouvement d'entraînement ,

Supposons d'abord que le mouvement d^ entraînement soit un simple mouvement de translation. Soit M la position du mobile sur la trajectoire AB à la fin du

Fig. 53.

temps t (flg. 53). Au bout du temps dt^ la trajectoire

relative du point sera venue en A'B', et le point M en M'.

Mais, en vertu du mouvement relatif, le mobile aura parcouru un arc M'M'' de la trajectoire relative: donc, la position finale du mobile est le point M".

Au point M, la vitesse absolue est fa : elle est la résultante de la vitesse relative tv et de la vitesse d'entraînement Ve ; au point M", la vitesse absolue est devenue Va + de a :

elle est la résultante de la vitesse

relative qui est deyenue Vr + rftv, et de la vitesse

d'entraînement qui est devenue Ve + dve.

Par un point C quelconque de l'espace (flg. 54), menons une droite CD égale en grandeur, direction et sens à la

vitesse Ve d'entraînement du point M ; par le point D, menons une droite DE égale en grandeur, direction et sens à la vitesse relative Vr du point M. La résultante CE sera en grandeur, direction et sens la vitesse absolue î;a en M.

Si nous menons de même CF égale en grandeur, direction et sens à r^ + rftv, et FG égale en grandeur, direction et sens kvr -\- dvr, la résultante CG sera en grandeur, direction et sens la vitesse absolue Va 4- dva en M". Il en résulte que EG (n** 62) sera en grandeur, direction et sens la vitesse élémentaire acquise dans le mouvement absolu pendant le temps dt.

Fig. 54.

Joignons DF, et menons par le point F une droite FH égale et parallèle à DE ; joignons EH et HG. Il est évident que la droite EG sera la résultante géométrique des deux droites EH et HG. Or EH = DF représente en grandeur, direction et sens la vitesse élémentaire acquise dans le mouvement d'entraînement pendant le temps dt, et HG représente en grandeur, direction et sens la vitesse élémentaire acquise dans le mouvement relatif pendant le temps dt.

Donc, la vitesse élémentaire acquise dans le mouvement absolu est la résultante des vitesses élé^nentaires acquises dans le mouvement relatif et dans le mouvement d'entraînement.

Mais l'accélération totale de chacun de ces mouvements est proportionnelle à la vitesse élémentaire acquise correspondante (elle est égale à la vitesse élémentaire acquise divisée par dt) ; elle a la même direction et le même sens (n° 57). Donc, V accélération totale du mouvement absolu est la résultante de Vaccélération du mouvement d'entraînement et de Vaccélération du mouvement relatif.

161. Remarque. — Si le mobile est animé d'un mouvement relatif et de plusieurs mouvements d'entraînement, et si ces mouvements sont tous des mouvements de translation, l'accélération totale du mouvement résultant se trouvera en composant les accélérations totales de tous les mouvements du mobile, au moyen de la règle du polygone.

162. Supposons maintenant que le mouvement d entraînement soit quelconque.

Soit AB la trajectoire relative du mobile à la fin du temps t, A"B" la trajectoire relative à la fin du temps t 4- dt. Nous allons chercher la déviation dans le mouvement absolu, et nous en déduirons l'accélération

Fiff. 56.

totale, d'après la règle connue (n*' 75). Nous chercherons donc, d'une part, la position à laquelle le mobile parviendrait au bout du temps dt, s'il continuait à se ^nouvoir sur la tangente à la trajectoire absolue du point M avec la vitesse absolue au point M ; puis^ nous chercherons ^ d^ autre part, la position à laquelle le mobile parvient en réalité au bout du temps dt ; en joignant ces deux points^ nous aurons la déviation du mouvement absolu.

Or, le mouvement d'entraînement est un mouvement élémentaire d'un corps solide. Nous savons (n^* 111) que

ce mouvement, qui amène la trajectoire AB en A"B" (flg. 55), peut être produit par un mouvement de translation, qui amènerait AB en A'B', le point M en M', et un mouvement de rotation autour d'un axe CD passant par le point M'. Mais, en vertu du mouve7nent relatif, le point M, au bout du temps dt, arriverait en N.

En vertu du mouvement de translation, le point M arriverait en M', au bout du temps dt, pendant que AB viendra en A'B' : au bout de ce temps dt, et en vertu du mouvement de translation, le point N vient en N'.

Dans le mouvement de rotation autour de l'axe CD, la trajectoire relative A'B' vient en A"B", et le point N' vient en N", en décrivant un arc N'N" ayant pour centre un

point E sur Taxe CD. La position finale du point M à la fin du temps t + dt sera donc le point N", et la trajectoire absolue serait une courbe passant par M et N".

Menons en M la tangente MS à la trajectoire relative, et prenons sur cette tangente une longueur MS = Vrdt ; le point S sera la position que le mobile occuperait à la fin du temps t + dô sur la tangente à la trajectoire relative. Par conséquent, SN sera en grandeur, direction et sens la déviation dans le mouvement relatif.

Au bout du temps dt, le mouvement d'entraînement amène le point M en M', en lui faisant parcourir la trajectoire MM'. Si nous menons la tangente MR à cette trajectoire au point M, et si nous prenons MR = Vedêy le point R sera la position que le mobile occuperait au bout du temps t + dt, sur la tangente à la trajectoire du mouvement d'entraînement. Donc, RM' sera en grandeur, direction et sens la déviation dans le mouvement d'entraînement.

Si l'on construit le parallélogramme MRST, le point T sera le point où le mobile serait parvenu au bout du temps t + dt, s'il avait continué à se mouvoir sur la tangente à sa trajectoire absolue en M, avec la vitesse absolue en M; MT sera la tangente à la trajectoire absolue, et l'on a : MT «= Vadt. Si l'on joint TN", cette droite sera en grandeur, direction et sens la déviation du mouvement absolu pendant le temps dl. L'accélération

totale du mouvement absolu aura la même direction et

2TN" le même sens, et elle aura pour grandeur --nr •

Menons TU égale et parallèle à SN, joignons UN' et UN : nous aurons un polygone gauche fermé TUN'N"T, et l'on voit que TN" est la résultante des trois côtés TU, UN' et N'N", comptés dans le sens indiqué par les lettres.

L'accélération fa du mouvement absolu s'obtiendra en construisant un polygone ayant ses côtés parallèles aux

précédents, et égaux au double de ceux-ci divisés par rf^^

2TN" ,, . ,, , , 2TU 2UN' ,2NN" Donc, (Ta == ,.2 est la résultante de —nr^ ni ^^ iri -

Or, TU = SN ; donc, -— - = —rrr , c est Vaccélé-

di" dt

ration du mouvement relatif, que nous désignerons par cpr.

D'autre part, si l'on imagine le triangle RUT, ce

triangle est égal et parallèle à MNS, et, par conséquent,

UR est égal et parallèle à MN, donc à M'N'. La figure

RUN'M' est donc un parallélogramme, et, par suite,

UN' est égal en grandeur, direction et sens à RM'. 2UN^__ 2RM'

dt^ "^ dt

nient d'entraînement que nous désignerons par cp^j.

2N'N" Enfin, est aussi une accélération, que nous appel-

lerons accélération complémentaire : nous pouvons en déterminer la grandeur, la direction et le sens.

En effet, si w est la vitesse angulaire de la rotation autour de CD, on a :

N'N" = ^dt . N'E.

Or, dans le triangle rectangle N'EM', on a, en désignant par a l'angle que l'axe CD fait avec M'N' ou MN, ou avec la tangente MS à la trajectoire relative :

N'E = M'N' sin a = Vrdt . sin a ;

Donc, — :77T- =^ — 772- » ^'^st V accélération du mouve-

donc,

N'N" = a)t;;.sina dt^.

d'où :

= 2a)tvsina.

dt^

Cette troisième accélération qui est dirigée suivant N N" est perpendiculaire au plan qui passe par CD et par l'élément M'N' de la trajectoire relative, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe instantané de rotation, et à la vitesse relative. Son sens est celui de la rotation autour de CD.

En résumé donc, <pa est la résultante des trois accélérations :

fr, <p« et 2(>)i7rSina,

et l'on a le théorème suivant :

Théorème de coriolis. — Uaccélération totale dans le mouvement absolu est la résultante de trois accélérations :

F L'accélération du mouvement d'entraînement cp^, c'est-à-dire l'accélération du mouvement dont serait animé le mobile s'il restait en repos relatif dans la position où il se trouve ;

2^ L'accélération relative (fr, c'est-à-dire l'accélération dans le mouvement apparent du point ;

3^ Uiie accélération complémentaire 2Mi;r sin a, perpendiculaii^e à la vitesse relative et à l'axe instantané de rotation, dans le sens dans lequel l'extrémité de la droite qui représente la vitesse relative tourne autour de l'axe instantané.

163. On peut construire l'accélération complémentaire de la manière suivante : Soient M et M' (flg. 56)

les deux positions du point M, et MS ^^' ' une droite représentant en grandeur,

direction et sens la vitesse relative. Le mouvement d'entraînement peut être décomposé en un mouvement de translation MM' et un mouvement de rotation autour d'un axe passant par le point M'.

Cette décomposition détermine la direction 00' de l'axe instantané de rotation ; par conséquent, la grandeur 2wi/vsina de l'accélération complémentaire sera déterminée. Ce sera une longueur représentant le double de l'aire du parallélogramme construit sur w et Vr.

164. Remarque I. — Il est évident que si le mobile est animé d'un mouvement relatif, et d'un nombre quelconque de mouvements d'entraînement, on obtiendra l'accélération totale du mouvement absolu par un nombre suffisant de compositions successives.

Remarque II. — Dans le cas où le mobile est animé d'un mouvement relatif et d'un seul mouvement d'entraînement, l'accélération complémentaire, qui a pour expression 2'*)i;rsina, sera nulle :

V Lorsque « =» 0, c'est-à-dire lorsque le mouvement d'entraînement est un mouvement de translation ;

2^ Lorsque i^r = 0, c'est>-à-dire lorsque la vitesse relative est nulle ;

S"" Lorsque a = 0, c'est-à-dire lorsque Taxe de rotation du mouvement d'entraînement est parallèle à la vitesse du mouvement relatif.

Dans ces cas particuliers, l'accélération du mouvement absolu est la résultante de deux accélérations seulement : celle du mouvement relatif, et celle du mouvement

d'entraînement. Dans tous les autres cas, on devra joindre à ces deux accélérations, l'accélération complémentaire.

Remarque III. — Lorsque le mouvement d'entraînement est un mouvement rectiligne et uniforme^ son accélération cp^? est nulle. Alors çr ne diffère pas de ça, quoique Vr diffère de Va.

Lorsque le mouvement d'entraînement est un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe, l'accélération dans ce mouvement se réduit à l'accélération centripète ; elle est dirigée du point mobile vers l'axe de rotation, et elle a pour grandeur :

en désignant par Ve la vitesse du point, r sa distance à l'axe, et w la vitesse angulaire.

165. Problème. — Déterminer V accélération du mobile dans le mouvement relatif, connaissant le mouvement absolu et le mouvonent d'entraînement.

Soit OABC (flg. 57) le polygone de composition des accélérations, dans /ff^ lequel OA représente en grandeur, direction etsens l'accélération relative, AB l'accélération d'entraînement, et BC l'accélération complémentaire ; OC sera en grandeur , direction et sens l'accélération du mouvement absolu. Construisons le même polygone, mais changeons les sens de

l'accélération d'entraînement et de raccélération complémentaire. Il est évident que Xaccélération du mouvement relatif sera la résultante géométrique de Vaccélération du mouvement absolu, dune accélération égale et directement opposée à Vaccéléy^ation d'entraînement et d'une accélération égale et opposée à Vaccélération complémentai7^e. Cette dernière se nomme accélération centrifuge composée. Elle se détermine comme l'accélération complémentaire, et elle est nulle dans les mêmes cas.

166. Problème. — Déterminer les composantes de Vaccélération complémentaire suivant trois axes rectangulaires.

Nous nous proposons donc, étant données les trois Composantes p, q, r de w, et les trois composantes Vx, Vy, Vz de Vry de trouver les composantes de l'accélélération complémentaire 2wtvsina, projetée sur les trois axes.

Soit CD (flg, 58) l'axe instantané de rotation que

nous pouvons supposer passer par le point mobile M, en introduisant dans le système une translation convenable, et soit MA une droite qui représente en gi^andeur, direction et sens la vitesse relative Vr. Prenons sur l'axe CD une longueur MB qui représente en grandeur, direction et sens la vitesse angulaire &>.

Fig. 58.

D'après ce que nous avons vu, l'accélération complémentaire 2<^VrSin(x. est égale au double de l'aire du parallélogramme construit sur MA et MB, ou égale à quatre fois l'aire du triangle MAB. De plus, elle est perpendiculaire au plan de ce triangle, puisqu'elle est perpendiculaire à MA et MB, et son sens est celui dans lequel l'extrémité A de la droite MA, qui représente la vitesse relative, tourne autour de l'axe CD. Si donc on élève une perpendiculaire au plan AMB, sur laquelle on prend une longueur MN =- 2cotvsin«, c'est cette droite MN que nous aurons à projeter sur les axes, ce qui revient évidemment à projeter le triangle AMB sur les trois plans coordonnés. Ainsi, par exemple, la projection de MN sur l'axe des z, sera égale à quatre fois la projection du triangle AMB sur le plan des œy.

Ceci posé, par le point menons oa et ob respectivement égales et parallèles à MA et MB, et menons les coordonnées des points aetb. Nous aurons évidemment :

p = 0&", q^Vb\ Vx = Oa", Vy = (£o:\

Le triangle Oa& étant égal et parallèle à AMB, nous aurons à déterminer sa projection Oa'J' sur le plan des xy. Or, on a :

T . OdV = quad. Oa'6'a" — T . Ob' a!' ;

mais,

quad. Oa'6'a" == T.Oa'a" + T.ala^b'.

D'autre part, le triangle a'a'^V est équivalent au triangle a'a'^V^ puisqu'ils ont même base a'a", et que

leurs sommets V et ô" sont sur une même parallèle à la base. On a donc :

par suite,

T . Oa'b' = T . Oa'a" + T . a'a"*" — T . Ob'a" = T . Oa'b" — T . Oô'a''

Par conséquent, la composante de l'accélération complémentaire suivant l'axe des z, qui est égale à quatre fois le triangle Oa'b\ et que nous désignerons par (fe, z, aura pour expression :

Çr, « = 2 {pvy — qvx).

Nous aurons de même pour les deux autres composantes :

<fcyx^^{qvz — rvy).

Comme on le voit, ces trois composantes peuvent se déduire les unes des autres par une permutation tournante.

167. MÉTHODE ANALYTIQUE. — Soicut uu systèmc d'axes rectangulaires O'H, O'/j, O'Ç en mouvement, et un point M ayant un mouvement propre, indépendant du

mouvement des axes. Ce mouvement sera le mouvemenù absolu du point M. Le mouvement relatif du point M sera le mouvement de ce point par rapport au système de comparaison : c'est le mouvement qu'un observateur invariablement lié aux axes mobiles attribuerait au point M, s'il n'avait pas conscience de son mouvement. Le mouvement cT entraînement est le mouvement absolu qu'aurait le point M, s'il était fixé aux axes mobiles.

Soient H, /j, l les coordonnées de M par rapport aux axes mobiles ; œ,y, z les coordonnées de M par rapport aux axes fixes 0^, Oy, 0^; œ^, y^, z^ les coordonnées de 0' par rapport aux axes fixes; a, 6, c, a\ b\ c\ a'\ V\ c" les cosinus des angles que font les axes fixes avec les axes mobiles ; nous aurons les formules :

0? = a?i + aÇ + &/) + c!;,

y = J/i +a!l + Vn + cX, ) (i)

^ « ^; + a% + 6"/) + cX.

On a d'ailleurs les relations connues :

o« + 6« 4- c* = 1. a'a» + b'b" + c'c" = 0, a'« + *•« + C» = 1 . a"a + b''b 4- c"c = 0, a"«-|j"2-j c"2-=i, aa' + bb' + cd =0,

a« + a'» + a"« =1, bc ^■ b'd 4- V'd' = 0.

a = Vd' — b"d, a' = b"c — bc\ a" = bd — b'c, b^ dot;' — d'à', b'^'d'a — ca", b"='Ca'—da, c '^ a'b" — a"b' , d = a"b — ab", d' = ab' — a'b.

On a aussi :

ada + bdh + cdc = 0, ada + ddd + a"<?a" = 0,

a!da!-\- h'dV + c'dc'=- 0, bdh + J'c?*' + h"db'' = 0.

a"£Îa"+J"c?6''+c'W= 0, cdc + c'rfc' + c"c;c" = 0,

hdc + crfft + b'dc' + c'rfj' + b"dc" + c"rf6" = 0.

De cette dernière formule on tire :

cdb + e'dV + d'db" {bdc + b'dc' + b"dc") ;

de même, on a :

adc + a'dc' + a"rfc" = - (cda -f c'rfa' + c"da"), bda 4- ft'rfa' + b"dcû' (adb + a'«?ô' + a»db").

Des formules (1) on tire :

dcc^ ,fda , db de

dl dn de,

■^""dt-^^dt+'-dt

dy dt

dyj,^ird^y^d^,^d& dt '^^ dt'^'^ dt'^^ dl

+ ^dt+^dt+'dî'

dz dt

dz^

da"

ri* — ,7/ "T ^ ~1T + ^

dV^

dt '^^ dt

Or, ^ , -~ , -1^ , sont les composantes de la vitesse

absolue suivant les axes Ox^ Oy, Oz.

dœ. , yda ^ db , .^dc ^ , , .... .

-jT + ^-37-h*'î-7r + <^-Tr> etc., sont les dérivées de dé dt dû dû

X, y, z, en supposant $, ri, Ç constants. Ce sont les composantes suivant les axes fixes 0^, Oy, 0.3: de la vitesse du point M, s'il était lié aux axes mobiles, c'està-dire au système de comparaison. Ce sont donc les composantes suivant Oœ, Oy, Oz de la vitesse d'entraînement.

a-^ + J^ + c-^, etc. sont les dérivées de œ, y, ^,

en supposant œ^, a, b, c... constants. Ce sont les composantes suivant les axes fixes de la vitesse relative.

On voit donc que la projection de la vitesse absolue sur un des trois axes est égale à la somme des projections sur cet axe de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — La vitesse absolue est la résultante de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative.

168. Remarque I. — Nous avons trouvé pour la projection de la vitesse d'entraînement suivant l'axe Ox :

dXy , y da , db ^ ^ de

Or, le mouvement d'entraînement se compose d'un mouvement de translation du point 0' et d'une rotation autour d'un axe O'I passant par le point 0'. Il en résulte

que -j~ est la composante suivant l'axe Ox de la vitesse

de translation.

^da db ^ ^ de ^ ^ , . ^ i i

S -17 + // "yT + ? ^ est la projection sur Ox de la

vitesse du point M (ç, */î, Ç), supposé lié au système mobile, et due à la rotation.

169. Remarque II. — D'après ce que l'on a vu précédemment (n** 156), si l'on désigne par p, g, r les composantes de la rotation w autour de l'axe O'I, on a pour les composantes de la vitesse du point M (due à la rotation) suivant les axes O'i, O'/j, 0'? :

donc, en vertu du théorème des projections,

On en tire :

da , db de ^^ ,

=j^^eg, -^cp-ar, -^aq^bp.

170. Remarque III. — En désignant par v^, v^, v^ les composantes suivant les axes mobiles de la vitesse due à la rotation, et par Vx, Vy, Vz les composantes de cette vitesse suivant les axes fixes, on a :

t?ç == avx + alvy + (jC'vz

Or, (n^ 168) :

yda , db.ydc ^ da' , db' y de' . rfa" , rf6" , y de" .

par suite :

(s,da , db , ^ dc\ , .f^da' , dV . ^dc-\

OU bien, puisque vç = ç!; — m (n° 169) :

, f db , , db' , ,, db" \ i ^ / de , , de' „ dd' \

On tire de là :

da , , da' ,. da" ^ \

db , . db' „ db" , ,.,

de , , de', ,. de'

expressions que l'on pourrait d'ailleurs obtenir en

1 X j 1 • . da db de

remplaçant dans les premiers membres ■-^, •^, -tt par

leurs valeurs trouvées ci-dessus (n** 169).