Différentiant les équations (2), on a

d*x tPXy ^(Pa d'b ^ d*c dt* dt* '^^ dP "^ " rf^" "•" ' dt*

^ Idl da dr^db^ dX dc\ '^ \dï dl'^U dt'^ dt 'dur

d^ d^y^ , yd^a!

dt^

/7/2 ~r ^ rli'l \ ^

dt^

d^V dl^

dt^

dt"

di^

dt^

di do! . dr dV dX^ rfc'

di "^ dt dt

'^Xdt dt '^ dt

rf^* rf<* "^ ^ rf^« "^ " dV^ "*■ ^ rf<*

C?*2 rf'yi rf^s:

^°' di*^^ dl^^^ dl*

^/d'ida" '^ \di dt

drtdb" di^dd' "^ di dt "^ 'dt dt

du ù(j d''\t d^ 2 Les quantités ^r^» '^» 7372- sont les projections sur les

axes fixes de l'accélération du mouvement absolu. d^x dra d^b d^c

■# + ^ ^ + " rfF + '^ TF'^*"" '^^"^^'' '^'°"^^'

de Xy y, z, en laissant Ç, /), ^ constants, sont les projections sur les axes fixes Ox^ Oy, Oz de l'accélération d'entraînement.

^ W "^ W^^W dérivées de œ, y, z, en

laissant a?p a, &, c... constants, sont les projections sur les axes fixes de l'accélération relative.

Enfin, il reste les quantités :

— 9 /^ da , dy^db^ d^ dc \ ^''^""'^Vrf^ rf^ "*■ rf^ d^ "^ dt dt}'

^ldlda* dn db' , rfS rfc' \ I . .

^^'y'^y-diW^diW^ dùWj' l ^^)

^''' ~" "^ \dt dt '^ dl dt '^ dt dt )'

Ce sont les projections sur les axes fixes de l'accélération complémentaire. On a le théorème suivant :

Théorème. — L'accélération du mouvement absolu est la résultante de Vaccélération d'entraînement, de Vaccélération relative et de Vaccélération complémentaire (ou de l'accélération centripète composée).

172. Remarque. — Nous aurons donc la formule : de laquelle on tire :

(fr, i» = <p«, a; — <fe,x — <^e, x.

Donc, Vaccélération relative est la résultante de Vaccélération absolue, de Vaccélération d'entraînement prise en sens contraire, et de Vaccélération centrifuge composée.

173. Proposons-nous maintenant de rf(?Yermmer face^ lération complémeyitaire. Nous remarquerons que :

dt'di'^'di'di "^ ~didl"

sera, d'après ce que nous avons vu (n^ 168), la projection sur Oœ de la vitesse d'un point dont les coordonnées

sont 777» -^1 -^y supposé lié aux axes mobiles, vitesse

due au mouvement de rotation autour d'une parallèle à O'I. Or, si par le point M, on mène une droite MV, qui représente la vitesse relative Vr du point M, les coordonnées du point V, par rapport à l'origine M,

seront : -^ , -^ , -77 • Par suite, l'expression : at dt dt

d\ da dn db dt dt '^ Itdt

dZ de "^ dt dt'

sera la projection sur Ox de la vitesse du point V, lié au

système mobile, due à la rotation autour d'un axe MI', mené par le point M parallèle à O'I. Donc, si par le point M (fig. 59), on mène une droite parallèle à la vitesse K qu'aurait dans le mouvement de rotation autour de MI', l'extrémité V de la vitesse relative, et égale au double de cette vitesse, c'est-à-dire égale à 2K, cette droite représentera l'accélération complémentaire. D'ailleurs, la vitesse K du point V sera :

K = b)p = wvrsin a.

Par suite :

We = 2a)i?rsina.

174. On peut déterminer de la manière suivante la grandeur et la position de l'accélération complémentaire.

Multiplions les équations (5) par a, a', a", et ajoutons ; nous aurons la projection de fe sur l'axe des Ç :

^ /rf| da dri^db^ (K dc\

^''' 5 ■" " irfF rfï '^ 'Si di ^ 'dU H)

r^lSidc^.dndV^ d&\^, "*■ \dt dl ■•■ dt di "^ dt dtj

,^l^d^,dridb;i,dZ d(f\ „ "^ [dt dt '^ dt dt '^ dt ut I

^dl / da , ,da' , „da''\

, ^dn ( dh , ,dV ,, db"\ + ^dt(^dt+^W^'''-dr}

+ ^ dt^dt^*^ dt^'^ dtJ'

ou bien, en vertu des équations (3) :

de même,

"f^'^^^V'-dt-P-dt)'

„/ dn ^ dl\

On en tire :

d'où :

Çc = 2 a)t?r sin (w, Vr).

Il est facile de démontrer que l'accélération complémentaire fc est perpendiculaire à l'axe instantané de rotation du système, et à la vitesse relative.

En effet, on a identiquement :

175. Remarque. — Si l'on veut les composantes de l'accélération relative suivant les axes mobiles O'Ç, O'y?, 0%, on aura :

or,

J dZ dr>\

et, par suite,

de même,

Applications du mouvement relatif.

176. Problème I. — U7i cercle roule sans glisser sur une droite fixe AB. Son mouvement est uniforme. Un point M est lié invariablement au cercle mobile. Déterminer à un instant quelconque ^accélération du mouvement.

Le roulement du cercle sur la droite AB consiste en une rotation instantanée autour du point C ; la vitesse w de cette rotation est constante. On peut considérer

Fig. 60.

cette rotation autour de C (fig. 60) comme la résultante

d'une rotation autour du centre 0, et d'une translation parallèle à AB et égale à « . OC (n"" 143). Le mouvement du cercle, et par conséquent du point M peut donc être considéré comme composé de deux mouvements simples, savoir : une rotation autour du centre 0, et une translation parallèle à AB. Nous prendrons le premier pour mouvement relatif, et le second pour mouvement d'entraînement. Ce dernier mouvement étant rectiligne et uniforme, son accélération est nulle. Le mouvement d'entraînement étant une translation, l'accélération complémentaire est nulle. Donc, l'accélération totale du mouvement absolu se réduira à l'accélération du mouvement de rotation du point M autour du point 0. Or, cette dernière est égale au carré de la vitesse w . OM du point M, divisé par le rayon OM du cercle qu'il décrit. Elle est donc égale à :

« w2 . OM.

On voit qu'elle est constante en grandeur ; d'ailleurs, elle est constamment dirigée vers le centre du cercle mobile.

177. Problème IL — Trouver Vaccélération totale dans le mouvement plan d'un point rapporté à des coordonnées polaires.

Le mouvement du point M peut être décomposé en ime translation le long du rayon vecteur OM, et une

rotation du rayon OM autour du point 0. Nous supposerons ces deux mouvements dirigés le premier dans le sens OM, le second dans le sens qui fait croître l'angle 6. Nous prendrons le premier mouvement comme mouvement relatif, le second comme mouvement d'entraînement, et nous chercherons l'accélération totale du mouvement absolu résultant.

Or, l'accélération du mouvement relatif, dirigée suivant le rayon OM (fig. 61), est égale à -^ en

grandeur et en signe. Dans le mouvement d'entraînement, qui est un mouvement de rotation autour du centre 0, le point M décrit une circonférence de cercle,

avec une vitesse égaleàr-r--

L'accélération totale de ce mouvement se décompose en deux composantes, l'une tangentielle, dirigée suivant MN, perpendiculaire à OM, et

égale à,r-^, l'autre centripète, dirigée suivant MO,

et égale à :

Enfin, l'accélération complémentaire, qui est perpendiculaire à la vitesse relative et à l'axe de rotation, sera donc dirigée suivant MN, et elle aura pour expression :

2 wîJrSina.

Mais, l'angle « étant droit, cette accélération se

réduira a 2 wtv = 2 --7- -7- .

dt dt

Si maintenant nous faisons la somme algébrique des

accélérations de même direction, nous aurons pour les

composantes de l'accélération totale du mouvement

absolu :

suivant OM: -^^l^) - ^r.

suivantMN: r^ + 2^^ = cp,.

Ce sont les valeurs que nous avons trouvées précédemment (n** 83).