CHAPITRE PREMIER

Principes fondamentaux de la mécanique.

178. On appelle corps une portion de matière limitée dans tous les sens.

Un point matériel est un corps réduit à des dimensions très petites, telles que l'on puisse l'assimiler à un point géométrique. Ainsi, si l'on imagine un corps divisé en parties infiniment petites dans tous les sens, ces parties sont des points matériels qui, par leur réunion, forment le corps. Un point matériel peut donc être considéré

comme provenant de la concentration d'une quantité plus ou moins grande de matière. La forme du point matériel est indifférente.

179. On dit qu'un corps est libre y lorsqu'il n'est assujetti à aucune condition, lorsqu'il n'y a aucun obstacle qui le gêne dans son mouvement.

180. Pour étudier le mouvement des corps, sous l'action des forces qui leur sont appliquées, nous commencerons par l'étude de l'action des forces sur les points matériels. Cette étude est basée sur quatre principes fondamentaux que l'on ne peut pas démontrer directement. L'exactitude de ces principes repose sur la concordance des conséquences qui en découlent avec les faits observés. La plus grande preuve de l'exactitude de ces principes se trouve dans l'accord des mouvements des corps célestes avec les lois de ces mouvements obtenues en se basant sur ces principes.

181. Premier principe. — Inertie de la. matière. — Un point matériel ne peut, de lui-mê^ne, passer de Vétat de repos à l'état de mouvement. S'il est en mouvement, il ne peut modifier de lui-même son état de m^ouvement, en sorte que, si aucune cause extérieure n'agit sur lui, sa vitesse restera constaynment la même en grandeur et en direction, dest-à-dire que son mouvement sera rectiligne et uniforme.

182. Force. — Pour qu'un point matériel passe de l'état de repos à l'état de mouvement, il faut qu'il soit soumis à l'action d'une certaine cause. Pour qu'un point matériel, déjà en mouvement, ne continue pas à se mouvoir uniformément et en ligne droite, il faut aussi qu'il soit soumis à l'action d'une certaine cause qui modifie les circonstances de son mouvement.

Toute cause capable de changer l'état de repos ou do mouvement d'un corps, a reçu le nom de force.

Il peut arriver cependant qu'une force, appliquée à un point matériel, ne détermine pas le mouvement de ce point. (Test ce qui arrive, si un obstacle s'oppose à ce mouvement. Alors, la force donne lieu à une pression ou à une tension. Ainsi, par exemple, un corps soumis à l'action de la pesanteur, et placé sur une table, exerce sur elle une pression ; de même, une balle de plomb tend le fil auquel on la suspend.

183. Poids des corps. — Lorsqu'un corps n'est soumis qu'à l'action de la pesanteur, et qu'un obstacle l'empêche de tomber sous cette action, la pression ou la tension qui en résulte s'appelle le poids du corps. Le poids d'un corps produit toiyours une déformation de l'obstacle qui s'oppose à sa chute. Cette déformation peut être sensible, comme dans le cas d'un ressort, ou insensible à l'œil. La grandeur de la déformation peut servir à constater Vénergie du poids.

On dit que les poids de deux corps sont égaux, quand, soumis dans les mêmes conditions à l'action de la pesanteur seule, ces deux corps produisent le même eflfet. Ainsi, par exemple, si ces deux corps, suspendus à un ressort, le fléchissent également.

La réunion de n poids égaux forme évidemment un poids n fois plus fort. D'après cela, il suffira de choisir à volonté un poids A, que l'on prendra pour unité, pour pouvoir évaluer en nombre le poids d'un corps quelconque B. Ce nombre sera n, s'il faut n poids tels que A pour produire sur un ressort le même effet que lo corps B.

Vunité de poids est le poids d'un centimètre cube d'eau distillée, prise à la température de 4*^,1 ; on lui a donné le nom de gramme. Mais, on prend ordinairement pour unité de poids le kilogra^nme, ou le poids d'un htre d'eau distillée, prise à la température de 4'*,1. Le

poids d'un corps quelconque peut donc être évalué en grammes ou en kilogrammes.

184. — De la mesure des poids, on peut passer à la mesure de Yintensité des forces. En effet, un corps A étant suspendu à un appareil à ressort, produit une certaine flexion. Si une force, appliquée au même appareil, produit la même flexion, la force peut être regardée comme égale à faction de la pesanteur sur le corps A. Le poids de ce corps A peut donc servir de mesure à la force. Ainsi, une force quelconque peut toujours être mesurée par un poids, et, par conséquent, évaluée en nombre au moyen de l'unité de poids. Ordinairement, on évalue les intensités des forces en kilogrammes.

185. Nous venons de voir comment on peut déterminer en nombre l'intensité d'une force ; cela ne suffit pas pour définir complètement la force. Il faut, en outre, considérer la direction et le sens de la force.

Supposons un point matériel libre et au repos, et faisons agir sur lui une force : la direction suivant laquelle il commence à se déplacer est appelée la direction de la force. On considère la force comme agissant dans le sens du premier mouvement de ce point. Ainsi donc, pour qu'une force soit complètement déterminée, on doit connaître :

P son intensité^ qui est donnée en nombre ;

2"* sa direction, qui est donnée par les angles a, (3, y qu'elle fait avec les axes ;

3° son senSy qui est celui du premier mouvement ;

4° son point d'application, c'est-à-dire le point sur lequel elle agit, qui est donné par ses coordonnées x,y,z.

Il résulte de ce qui précède que deux forces qui, agissant successivement sur le même point matériel, lui communiquent exactement le même mouvement, sont

égales entre elles. Par conséquent, pour mesurer une force, il suffira de choisir pour unité une force bien déterminée. L'intensité d'une force quelconque sera exprimée par le nombre qui mesure son rapport à l'intensité de la force prise pour unité.

186. Une force quelconque peut être représentée géométriquement par une droite menée à partir de son point d'application, dans la direction et le sens de la force, et ayant une longueur proportionnelle à l'intensité de cette force.

187. Deuxième principe. — Égalité de l'action ET de la réaction. — Toute force appliquée à un point matériel A, énane d'un autre point matériel B, situé d une distance quelconque du pre^yiier ; réciproquement, le point B est soumis à Vaction d'une autre force émanant du point A. Ces deux forces, qui sont Vaction et la réaction, sont égales entre elles^ dirigées suivant la droite AB, et en sens contraire Vune de Vautre.

Si la force qui agit sur le point A tend à le rapprocher de B, alors la force qui agit sur le point B tendra aussi à le rapprocher de A. Ces deux forces sont dites attractives. Si les deux forces, au contraire, agissent de manière à éloigner les deux points A et B l'un de l'autre, ces deux forces sont dites répulsives.

188. Troisième principe. — Indépendance de l'effet d'une force et du mouvement que possède le point MATÉRIEL SUR LEQUEL ELLE AGIT. — L'effet produit par une force sur un point matériel est indépendant du mouvement antérieurement acquis par ce point.

Voici comment on peut se faire une idée de ce principe :

Supposons un point M, animé à un instant quelconque d'une certaine vitesse. Le principe énoncé signifie que l'effet d'une force sur ce point n'est pas modifié par

cette vitesse ; en d'autres termes, cet effet sera le même que si le point était au repos, seulement le mouvement du point résultera de la composition des deux mouvements. Ainsi, supposons que Ton rapporte les positions successives du point M à un système d'axes rectangulaires animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme dont la vitesse soit égale et parallèle à la vitesse du point M à la fin du temps t. Si, à partir de cet instant, le point M n'était soumis à l'action d'aucune force, son mouvement serait rectiligne et uniforme, en vertu du principe de l'inertie (n*^ 181). Par conséquent, il conserverait toujours la même position par rapport aux axes mobiles. Le principe énoncé signifie que, sous l'action de la force qui lui est appliquée, le point matériel prend par rapport aux a^xes mobiles un mouvement qui est exactement le même que le mouvement absolu que cette force lui communiquerait, s'il partait du repos. Pour avoir le mouvement réel du point dans l'espace, il suffira de composer le mouvement du point par rapport aux axes mobiles avec le mouvement des axes.

189. Ce principe nous permet de déterminer le mouvement cTun point matériel soumis à Faction cTune force constante.

Une force est constante pendant un temps donné, lorsque, pendant ce temps, sa direction ne change pas, et que son intensité reste également constante.

Trois cas peuvent se présenter :

l*' Cas. — Le point matériel est au repos. On a alors le théorème suivant :

Théorème. — Un point matériel en repos^ soumis à Faction d'une force constante, prend un mouvetyient rectiligne et uniformément varié.

Soit Aœ la direction de la force constante appliquée

à un point libre et au repos placé en A (fig. 62)»

Le 7nouvement de

'^' ^^' ce point sera évi-

A M M, M' X demment rectiligne

et dirigé suivant Aœ; car, il n'y a pas de raison pour que le mobile dévie dans un sens plutôt que dans l'autre.

Ce mouvement sera uniform&inent varié. En effet, soit M la position du mobile à la fin du temps /, et v sa vitesse à cet instant. Au bout du temps dt, le mobile sera en M', et l'on aura MM' — ds. Si, pendant ce temps dtj le mobile se mouvait avec sa vitesse en M, il parcourrait d'un mouvement uniforme l'espace MMj = vdt; l'accélération du mouvement est donc

—^ — (n** 75). Or, le chemin MM' réeUement parcouru

pendant le temps dt est la résultante de MM^, chemin qui serait parcouru en vertu de la vitesse seule, et de MjM'. Donc, en vertu du troisième principe, ce dernier chemin MjM' est celui qui est parcouru sous l'action de la force. Mais, la force est constante : donc, pour un même temps dt^ à partir d'une position quelconque sur la droite kœ, MjM' aura toujours la même valeur. L'accélération est donc constante, et, par conséquent, le mouvement est uniformément varié. En désignant par <p l'accélération de ce mouvement, par t le temps compté à partir de l'instant où le mobile se met en mouvement, par œ la distance entre le point de départ A et le point où le mobile se trouve à la fin du temps <, nous aurons l'équation du mouvement :

œ — \<ft'^.

2® Cas. — Supposons en second lieu que le point matériel, au lieu do partir du repos, se mette en

mouvement avec une vitesse initiale v^ de même direction que la force. En vertu du troisième principe, on obtiendra le mouvement du point mobile, en composant le mouvement rectiligne et uniforme, correspondant à la vitesse v^, et qui a pour équation :

avec un mouvement rectiligne imiformément varié, de même direction que le premier, ayant pour équation :

Le mouvement résultant sera rectiligne ; sa direction sera la même que celle des deux mouvements composants, et il aura pour équation :

œ==Vçf + \<ft^.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Le mouvement d'un point matériel, soumis à Vaction d'une force constante, et animé d'une vitesse initiale de même direction que la force est un mouvement rectiligne uniformément varié.

Si la vitesse t?^ est de même sens que la force, le mouvement sera uniformément accéléré, et il aura pour équation :

œ ^ vj -\- ^(ft* ;

si la vitesse v^ est de sens contraire à la force, le mouvement sera uniformément retardé, et il aura pour équation :

X => VqI — |(p^*.

3* Cas. — Supposons en troisième lieu que le point matériel, soumis à l'action d'une force constante, soit animé d^une vitesse initiale v^^ dont la direction ne coïncide pas avec celle de la force.

Prenons pour axe des œ la direction et le sens M^r de la vitesse initiale (flg. 63), et pour axe des y la direction

et le sens My de la force au point M. D'après le troisième principe, on obtiendra la position du point à la fin du temps t, en composant le mouvement rectiligne et uniforme dû à la vitesse initiale i^^, avec le mouvement rectiligne uniformément varié que la force communiquerait au point, s'il partait de M sans vitesse initiale. Nous aurons donc à composer les deux mouvements représentés par les équations :

0? «= MA == VqI, y «= MB -= \(ft^.

En éliminant t entre ces deux équations, on en déduit pour l'équation de la trajectoire :

La ti'ajectoire est donc une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des y, et qui est tangente à l'axe des œ au point M. L'axe des y est un diamètre de la parabole.

190. Quatrième principe. — Indépendance des effets des forces qui agissent simultanément sur UN MÊME POINT MATÉRIEL. — Lorsque plusicurs forces

agissent simultanément sur un même point matériel, chacune délies produit le même effet que si elle agissait seule. En d'autres termes, si un point matériel est soumis à la fois à l'action de plusieurs forces, on obtiendra le mouvement qu'il prend à partir d'un instant quelconque, en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse qu'il possède à cet instant, avec les mouvements que chacune de ces forces lui communiquerait, si elle agissait seule sur ce point à partir du repos.

191. Proportionnalité des forces aux accélérations qu'elles produisent. — Soient F une force constante agissant sur un point matériel à partir du repos, <p l'accélération du mouvement rectiligne et uniformément varié correspondant ; soient encore F' une autre force constante agissant sur le même point matériel à partir du repos, ç' l'accélération correspondante. Je dis que l'on a :

En effet, soit Fj une certaine force, contenue un nombre entier de fois dans F et F' ; nous aurons :

F = nFj, F = n'Fj ;

Soit 9i l'accélération du mouvement que la force Fj agissant seule communiquerait au point matériel à

partir du repos. Si nous appliquons à ce point n forces égales à Fj, de même direction et de même sens, le mouvement que ce point prendra, s'obtiendra à chaque instant en composant les mouvements rectilignes et uniformément variés que chacune de ces forces lui communiquerait séparément (n° 190). L'accélération du mouvement résultant sera la résultante des accélérations des mouvements composants. Ces accélérations étant de même direction et de même sens, leur résultante est égale à la somme n(pj de ces accélérations. Or, l'ensemble des n forces égales à F, est une force égale à F; par conséquent, la force F produit une accélération n^j. On a donc :

<p = Mcpi ;

nous aurons de môme

9' = n'cp^.

On en tire :

et, par suite :

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Deuoo forces constantes que Von fait agir séparément sur un même point matériel à partir du repos, sont entre elles comme les accélérations qu'elles communiquent à ce point.

192. REi^fARQUE I. — Si une force constante agit sur un point matériel qui est déjà animé d'une certaine vitesse, le mouvement du point s'obtiendra par la composition du mouvement rectiligne et uniforme correspondant à cette vitesse, avec le mouvement rectiligne et uniformément varié que la force lui communiquerait s'il partait du repos. Le mouvement résultant sera, d'après ce que nous avons vu (n^* 189), rectiligne ou parabolique.

L'accélération résultante est la résultante des accélérations de ces deux mouvements. Mais, l'accélération du premier mouvement est nulle, puisqu'il est rectiligne et uniforme ; donc, l'accélération résultante se réduit à l'accélération du second mouvement. Par conséquent, l'accélération, dans le mouvement rectiligne ou parabolique, qu'un point matériel animé d'une vitesse initiale, prend sous l'action d'une force constante, est la même que celle que cette force lui communiquerait, si la vitesse initiale était nulle.

Donc, deux forces constantes que Von ferait agir séparément sur un même point matériel sont entre elles comme les accélérations qu'elles communiquent à ce points quelle que soit sa vilesse au moment oii ces forces agissent sur lui.

193. Remarque IL — Si la force n'est pas constante en grandeur et en direction, l'accélération totale à un instant quelconque n'est autre que l'accélération que cette force communiquerait au point, si, à partir de cet instant, elle restait constante.

D'après cela, on peut dire que, si deux forces quelconques agissent séparément sur un même point matériel, ces deux forces sont entre elles comme les accélérations totales correspondantes,