CHAPITRE IIL
Équilibre d'un point matériel qui n'est pas libre.
224. Il arrive souvent qu'un point matériel est soumis à des conditions particulières qui font que le mouvement qu'il possède à chaque instant est différent de celui qu'il posséderait sous l'action de sa vitesse et des forces qui lui sont appliquées. On dit alors que le point est soumis à des liaisons.
Ainsi, par exemple, un point M suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible, dont l'autre extrémité est fixée en un point 0, n'est pas libre. Il ne peut s'éloigner de d'une quantité plus grande que OM. Il en résulte que ce point est assujetti à rester soit à l'intérieur d'une sphère de rayon OM, soit sur la surface de cette sphère.
Si OM est une barre rigide, le point M ne peut ni se rapprocher du point d'une quantité plus petite que OM, ni s'en éloigner d'une quantité plus grande que OM. Il est assujetti à se mouvoir
sur la surface de la sphère
Fig. 69. j r\iiir
*=* de rayon OM.
Si le point est à l'extrémité commune de deux tiges rigides articulées aux points fixes et 0' (fig. 69), il ne.
pourra que se mouvoir à la fois sur les deux sphères de rayons OM et OM,
c'est-à-dire sur la courbe d'intersection de ces deux sphères.
On voit donc qu'en général, un point matériel qui n'est pas libre, est assujetti à demeurer sur une surface, ou sur une courbe, ou à demeurer dans une portion finie de l'espace.
Dans ces différents cas, on ne connaît pas à priori toutes les forces qui agissent sur le mobile. En effet, les obstacles obligent le point à se mouvoir de telle ou telle manière : ces obstacles produisent donc sur le point certains effets.
Il est évident que Veffet d'une liaison sur un point équivaut à une force continuelle^nent appliquée à ce point y et que Von appelle force de liaison. Par conséquent, on peut toujours supprimer les liaisons, en y substituant des forces convenables. Si l'on joint ces forces aux forces qui sollicitent le point matériel, celui-ci pourra être considéré comme libre. Il suflira alors pour l'équilibre que la résultante de toutes les forces appliquées au point matériel (c'est-à-dire les forces données et les forces qui remplacent les liaisons), soit nulle.
Équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface.
225. Soit un point matériel M sollicité par des forces données et assujetti à demeurer sur une surface. Dans ce cas, la force de liaison sera la réaction de la surface coiitre le point matériel. En effet, le point M étant sollicité par les forces qui lui sont appliquées, et devant rester sur une surface, produira sur celle-ci une pression
déterminée. Mais, en vertu du second principe (n** 187), la surface exercera sur le point M une réaction égale et contraire. Reste à déterminer cette réaction. Or, il est facile de voir que, si la surface est parfaitement polies elle ne pourra exercer qu'une réaction normale à la surface.
A cet effet, observons que, si un point matériel est assujetti à demeurer sur une surface, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait équilibre est que la résultante des forces soit dirigée suivant la normale à cette surface. Cette condition est suffisante ; car, si elle est remplie, il n'y a pas de raison pour que le point matériel se déplace dans le plan tangent dans un sens plutôt que dans l'autre . Elle est nécessaire ; car, si la résultante n'était pas dirigée suivant la normale, on pourrait la décomposer en deux forces : l'une suivant la normale, l'autre dans le plan tangent. La première n'aurait aucune action pour déplacer le point ; la seconde, au contraire, aurait pour effet de déplacer le point dans le plan tangent.
Ces considérations vont nous servir à déterminer la direction de la réaction de la surface. En effet, si l'on joint cette force aux forces données, le point peut être considéré comme libre, et, puisqu'il est en équilibre, la réaction doit être égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces données, et, par conséquent, elle sera normale à la surface.
226. Equations d'équilibre. — Nous regarderons la surface comme parfaitement polie, c'est-à-dire comme ne pouvant exercer en un quelconque de ses points qu'une réaction dirigée suivant la normale en ce point. Nous pouvons donc considérer le point M comme libre,si, aux forces qui agissent sur ce point M, nous joignons la réaction normale de la surface, que nous désignerons par N.
Cela posé, soient X, Y, Z, les composantes de la résultante des forces appliquées au point M, i, (i, y les angles de la réaction normale avec les axes. Le point étant rendu libre, nous aurons les équations d'équilibre :
X + N cos X == 0,
Y + NcoSfx-=0, } (1)
Z + N cos u = 0.
Or, en désignant par :
F {œ, y, z) = 0, l'équation de la surface, et posant :
on a :
. ^,dF ,,dF ^^dF
cos / = V ^ , CCS |x = V j- , cos u == V -T-
Les équations d'équilibre deviennent alors :
dF dx
ÔF az
On en tire, en éliminant N :
dF "
" dF
"^ dF'
dx
ày
dz
Ce sont les conditions d'équilibre d'un point assujetti à demeurer sur la surface F {x,y, z) = 0.
Remarque I. — Les équations (2) expriment que les composantes de la résultante doivent être proportionnelles aux dérivées partielles de la fonction F.
Remarque II. — Les équations (2) nous permettent de reconnaître si un point donné sur la surface est en équilibre sous l'action des forces P, P', P"..., qui lui sont appliquées. Il suffira de vérifier si les coordonnées de ce point satisfont aux équations (2).
Remarque III. — Les équations (2), jointes à l'équation de la surface F (a?, y, ^) « 0, forment un système de trois équations à trois inconnues x,y, z,qm nous permettront de déterminer ces trois inconnues, c'est-à-dire la position du point de la surface qui est en équilibre sous l'action des forces données.
Remarque IV. — Lorsque les conditions (2) sont vérifiées, on pourra déterminer la réaction normale en grandeur et direction. En effet, des équations (1) on tire, en élevant au carré, et ajoutant :
On en conclut que la réaction normale est égale à la résultante des forces données.
D'ailleurs, les équations (1) nous donnent :
N cos X «=- — X, N cos /ut =- — Y, N cos u = — Z.
Par conséquent, la réaction normale est directement opposée à la résultante R des forces données.
Remarque V. — On aurait pu trouver les équations (2) d'une autre manière : il suffit d'écrire la condition que la résultante des forces données doit être normale à la surface. Si donc on désigne par a, 6, c les angles de la
resuixanie a\
ec les axes, on aura :
cos a cos & cos c
cos X ^ cos p ^ cos Li '
ou bien :
dx dy dz
comme précédemment.
Équilibre d'un point matériel assujetti à demeurer sur une courbe.
