RA = PB + P'C

et par suite, le triangle OMR est égal à la somme des deux autres OMP et OMP', et le théorème est démontré. Il est facile de s'assurer que le théorème énoncé est vrai, quelle que soit la position du point dans le plan des trois forces, à la condition d'attribuer aux moments de chacune des trois forces un signe convenable (n^* 229).

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Varignon,

Il résulte de là que, si nous désignons par r, p, p\ les distances respectives du point aux trois forces R, P, P', nous aurons la relation :

Remarque. — Si le point est situé sur la résultante, les moments des forces P et P' sont égaux et de signes contraires. D'ailleurs, dans ce cas, le moment de la résultante est nul.

232. Théorème. — Si Von considère un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel^ et situées toutes dans un même plan, le wx>ment de la résultante de ces forces par rapport à un point O situé dans ce plan y est égal à la somme algébrique des 77ioments des composantes par rapport à ce mêm£ point.

En eflfet, soient P, P', P',... les forces concourantes ; si nous composons les deux forces P et P' nous obtenons une résultante partielle R', et l'on a :

RV « Pp + P'p' ;

composant ensuite R' avec P", on obtient une seconde résultante partielle R", et l'on a :

RV" = RV + F"p" = Fp + P'p' + P"p".

En continuant ainsi, on finira par obtenir la résultante R des forces données, et il viendra :

Rr = Fp + Py + Py + ... ^ IFpy

ce qui démontre le théorème énoncé.

Moments des forces par rapport à un axe.

233. On appelle moment (Tune force par rapport à un axe le produit de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à l'axe par la distance du point où Taxe rencontre le plan à la projection de la force. C'est le moment de cette projection par rapport au pied de l'axe. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que la distance du pied de l'axe à la projection de la force est égale à la

plus courte distance ^ig' 78- entre la direction de

la force et Y axe des moments.

En effet, soit Oa (flg. 73) la distance du pieà de l'axe à la proj ection mP' de la force sur le plan "^ iry,perpendiculaireà Taxe Oz. Cette droite Oa étant perpendiculaire à Taxe Oz et à la force mP', est perpendiculaire au plan PNP', et, par conséquent, à la force MP. Elle est donc égale et parallèle à la plus courte distance O'a' des deux droites 0^ et MP.

Par suite, le moment âlune force par rapport à un axe est le produit de la projection de cette force sur un plan perpendiculaire à Taxe par la plus courte distance entre Vaxe et la direction de la force.

Il résulte de ce qui précède que le moment d'une force par rapport à un axe est nul :

1^ Lorsque la force rencontre l'axe ;

2"* Lorsque la force est parallèle à l'axe : car alors la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe est nulle.

On peut comprendre ces deux cas dans l'énoncé suivant : le moment dune force par rapport à un axe est nul, lorsque la direction de la force et Taxe sont dans un même plan,

234. Signes des moments. — Le moment de la force P par rapport à l'axe n'étant autre que le moment de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe par rapport au pied de l'axe, il est naturel de lui donner le signe de ce dernier.

Par conséquent, le moment P'p de la force P par rapport à l'axe Oz sera positif ou négatif, suivant que la force P' tend à faire tourner la perpendiculaire Oa de gauche à droite par rapport à la direction positive Oz^ ou en sens contraire.

235. Théorème. — La valeur absolue du moment dune force par rapport à un axe peut être représentée par une aire plane.

En effet, le moment de la force P par rapport à 0^ est égal au double de l'aire du triangle OmP' qui a pour base la projection wzP' de la force sur le plan normal à l'axe, et pour sommet le pied de l'axe. Or, ce triangle est évidemment la projection sur le plan normal de l'aire du triangle formé en joignant un point quelconque de l'axe aux extrémités de la droite qui représente la force, par exemple le triangle OMP.

236. Théorème* — Si un point matériel est soumis à Vaction d'un nombre quelconque de forces non situées dans un m^ême plan^ le moment de la résultante par

rapport à un axe est égal à la somme algébrique des moments des composantes par rapport à ce mêtne axe.

En effet, si l'on projette sur un plan quelconque toutes les forces, ainsi que leur résultante, on sait (n^ 221) que la projection de la résultante est la résultante des projections des composantes. Cette propriété aura lieu si l'on projette sur un plan perpendiculaire à l'axe des moments. D'ailleurs, toutes ces projections étant dans un même plan, le moment de la résultante projetée par rapport au pied de l'axe est égal à la somme des moments des composantes projetées, par rapport au même point.

Donc, le moment de la résultante par rapport à l'axe est égal à la somme des moments des composantes par rapport à cet axe.

237. Théorème. — Le moment d'une force par rapport à un points est en valeur absolue^ le m^anmum des moments de cette force par rapport à tous les axes que Ion peut mener par ce point.

Pour démontrer cette propriété, cherchons le moment de la force P par rapport à un axe quelconque passant par le point 0. Soit MP une force appliquée au point M (fig. 74) ; le moment de cette force par rapport au point est égal à MP x OQ. Or, ce produit est aussi le moment de la force P par rapport à un axe OZ, mené par le point 0, perpendiculairement au plan OMP passant par la force et par le centre 0, et il est égal au double de l'aire du triangle OMP (n^ 235).

Cela posé, proposons-nous de trouver le moment de la force P par rapport à un autre axe OS passant par le point 0. A cet eflfet, menons par le point un plan K perpendiculaire à l'axe OS, et projetons le triangle OMP sur ce plan en Omp. Le moment de la force P par rapport à l'axe OS sera le double de l'aire du triangle Omp (n** 235). Prenons maintenant sur OZ une longueur OA,

mesurée à une certaine échelle, et égale à MP x OQ, c'est-à-dire au double de Taire du triangle OMP. Les axes

OZ et OS feront entre eux un angle égal à l'angle des deux plans OMP et Omp; et si nous projetons OA sur OS, nous aurons une longueur OB, qui sera égale au double de l'aire Omp, c'est-à-dire au moment de la force P par rapport à OS.

Donc, pour avoir le moment de la force P par rapport à un axe quelconque OS, on mène par le point une perpendiculaire au plan passant par la force et par le point ; sur cette perpendiculaire on prend une longueur OA, égale au moment de la force P par rapport au point 0, puis on projette OA sur OS, la projection sera le moment cherché.

Il est évident que, quel que soit l'axe OS, on aura toujours OB < OA, et, par conséquent, le moment de la force P par rapport au point 0, est le maœimum des moments de celte force par rapport à tous les axes passant par le point 0.

Remarque I. — Les moments de la force P par rapport à tous les axes OS, qui font un môme angle avec OZ, sont égaux.

Remarque IL — Les moments sont nuls par rapport à tous les axes menés par le point perpendiculairement à OZ. D'ailleurs, tous ces axes sont dans un plan passant par la force P (n** 233).

Remarque IIL — Les extrémités B des axes des moments d'une même force P sont situés sur une sphère dont OA est le diamètre. En effet, si l'on fait mouvoir OS dans le plan AOB, le point B, projection de A, décrira une circonférence dont OA est le diamètre, et cette circonférence, en tournant autour de OA, décrira une sphère qui sera le lieu des points B.

238. Problème. — Une force P est appliquée en un point M ; par un point de V espace, on Mène trois aœes rectangulaires. Trouver les moments de la force P par rapport à ces trois aœes.

Soient a?, y, z, les coordonnées du point M (fig. 75) ;

décomposons la force P en ses trois composantes X, Y, Z, et appliquons le théorème des moments (n° 236). Le moment de la force P par rapport à Oz est égal à la somme des moments des composantes : or, le moment de Z, qui est parallèle à l'axe, est nul (n** 233) ; les moments de X et Y, qui se projettent en vraie grandeur sur le plan des œy, sont égaux à ces forces multipliées par leurs

distances à l'axe 0^, c'est-à-dire par y et x. Mais, le moment de X est négatif, et celui de Y est positif (n° 234). Donc, le moment de P par rapport à l'axe Oz est Ya? — Xy ; de môme, les moments par rapport à Ox et Oy ont respectivement pour expressions Zy — Y^, et X-î — Zx.

Nous aurons donc, en désignant par L, M, N les trois moments par rapport aux axes Oa?, Oy, Oz :

L — Zy — Yz, M^Xz — Zx, N«Ya?— Xy.

Ces trois moments sont évidemment (n^ 237) les projections sur les axes de la longueur qui représente le motnent de la force F par rapport au point 0.

239. Problème. — Déterminer le moment de la force P par rapport à une droite OK passant par Vorigine 0.

On sait (n® 237) que ce moment est la projection sur cette droite de la longueur qui représente le moment de la force P par rapport à l'origine 0. Donc, en désignant par X, /x, u les angles que OK fait avec les axes, et en appliquant le théorème des projections, nous aurons pour le moment cherché :

K = L ces X + M ces fx + N ces u.

Moment d'une force par rapport à un plan.

240. On appelle tnoment dune force par rapporta un plan, le produit de cette force par la distance de son point d'application au plan.

Dans le cas où le plan est parallèle à la direction de la force, le moment de la force par rapport au plan est égal au produit de la force par sa distance au plan.

241. Convention. — On considérera la distance du point d'application au plan comme positive ou négative, suivant la position de ce point par rapport au plan, d'après les conventions adoptées en géométrie analytique.

On considérera la force comme positive ou négative, suivant qu'elle agit dans un sens ou en sens contraire.

Par conséquent, le moment sera positif ou négatif, suivant les cas.