CHAPITRE I

Équilibre des systèmes matériels de forme invariable.

242. On sait qu'un corps est un assemblage de molécules, placées à distance les unes des autres, et exerçant les unes sur les autres des actions attractives ou répulsives. Nous assimilerons les molécules à des points matériels, en faisant abstraction des dimensions de ces molécules. Les systèmes matériels seront, donc des systèmes de points matériels.

Les corps se présentent à nous, dans la nature, sous trois états différents : ils sont solides, liquides ou gazeux.

Les corps solides sont ceux dans lesquels les molécules ont des positions déterminées les unes par rapport aux autres ; pour changer les positions relatives de ces

molécules, il faut faire agir sur ces molécules des forces plus ou moins grandes : si la déformation ne dépasse pas une certaine limite, les molécules reviennent à leurs positions primitives, dès que les forces qui les ont dérangées cessent d'agir.

Dans les liquides et les gaz, les molécules sont extrêmement mobiles : la moindre cause les dérange de leurs positions, et quelque petit que soit le dérangement, il ne tend pas à disparaître en même temps que la cause qui l'a produit. C'est pour cette raison que l'on donne à ces corps le nom de fluides.

243. Nous allons étudier les conditions d'équilibre des systèmes de points matériels. Nous supposerons ces systèmes entièrement libres et à Vétat de repos.

Rappelons d'abord le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Nous savons qu'en vertu de ce principe, toute force, appliquée à un point matériel A, émane d'un autre point matériel B, situé à une distance quelconque du premier. De même, le point B est soumis à l'action d'une force émanant de A, égale et contraire à la première : on l'appelle la réaction du point B.

244. Dans chaque système de points matériels, on a à considérer deux espèces de forces : les forces intérieures et les forces extérieures.

Soient Aun point du système que nous étudions, etBun point qui agit sur A. Si le point B appartient au système, la force qu'il exerce sur A est une force intérieure. Si, au contraire, B ne fait pas partie du système matériel dont nous nous occupons, la force qui émane de B sera une force extérieure. Ainsi donc, les forces intérieures sont celles qui proviennent des actions des points du système les uns sur les autres. En vertu du second principe fondamental (n° 187), à chacune d'elles

correspond une force égale et directement opposée appliquée au système comme la première. Les forces extérieures sont celles qui proviennent des actions exercées sur le système par les points situés au dehors. A chacune d'elles correspond aussi une force égale et directement opposée; mais, cette réaction n'est plus appliquée à un point du système, et on n'aura pas à en tenir compte, si Ton étudie seulement le système.

Remarque. — Une même force peut jouer ^ tantôt le rôle de force intérieure, et tantôt le rôle de force extérieure, suivant les cas. Si l'on considère, par exemple, le mouvement d'un corps qui tombe à la surface de la terre, l'attraction qu'une molécule du corps éprouve de la part d'une molécule quelconque de la terre est une force extérieure. Si, au contraire, on considère le mouvement d'un système matériel, formé de la terre toute entière, et des corps qui se trouvent à sa surface, ou dans son voisinage, cette môme attraction est une force intérieure. De même, l'attraction exercée par le soleil sur la terre est une force extérieure pour la terre considérée seule. Si l'on considère le système formé de de la terre et du soleil, cette même attraction est une force intérieure.

245. Nous commencerons par Vétude des systèmes matériels de forme invariable^ c'est-à-dire que nous supposerons que les points matériels qui les composent ne peuvent ni se rapprocher, ni s'éloigner les uns des autres. Un tel système a reçu le nom de solide invariable, ou simplement corps solide.

Les solides invariables n'existent pas dans la nature : ce sont des corps fictifs. Les solides naturels ne jouissent pas d'une rigidité parfaite : ils sont toujours plus ou moins déformables. Cependant, les résultats auxquels

nous serons conduits dans l'étude des solides invariables sont applicables dans la plupart des cas aux solides naturels.

246. Quand un corps solide est sollicité par dififérentes forces, celles-ci sont, en général, appliquées aux diflférents points de la surface du corps. Nous supposerons donc des forces appliquées aux différents points d!un corps solide^ et nous nous proposerons de trouver les conditions d'équilibre de ces foy^ces.

Le problème de la composition de ces forces repose sur certaines propositions fondamentales que nous allons établir :

1® Deux forces égales appliquées en deux points d'un corps solide, suivant la même droite, et en sens contraire Vune de V autre ^ se font équilibre ,

En effet, soient A et B (flg. 76) deux points matériels situés à une distance AB, invariable dans un sens

comme dans l'autre.

^^' ^' Si nous appliquons

.p A B r au système formé par

par ces deux points deux forces égales + P et — P, agissant en sens contraires suivant la direction de la droite qui les joint, il est évident que ces forces se font équilibre ; car, leur effet ne peut être que d'allonger la distance AB, et, par hypothèse, cette distance est invariable.

Il en résulte que si le corps est en repos avant que ces deux forces lui soient appliquées, il restera en repos sous l'action de ces forces.

2^ Une force peut être appliquée en un point quelconque de sa direction, sans que son effet soit changé, pourou que le nouveau point d^application soit invariablement lié au premier.

En effet, il résulte de la proposition précédente que la force P, appliquée en B, peut être tenue en équilibre, aussi bien par la force — P appliquée au point A, que par une force — P appliquée au point B, pourvu que le point A soit invariablement lié au point B. L'effet de la force — P en A est donc le même que l'effet de la force — P en B. La proposition est donc démontrée : elle est d'un usage fréquent dans la démonstration des théorèmes de statique.

3*^ Si, parmi les forces qui agissent sur un solide invariable en équilibre^ il yen a plusieurs P, P', P",... dont les directions concourent en un même point 0, ces forces P, P', P",... peuvent être remplacées par une force unique qui est leur résultante.

En effet, chaque force peut être transportée au point pris sur sa direction : toutes ces forces appliquées en un même point peuvent être remplacées par une seule R. Or, celle-ci peut être appliquée en un point quelconque A de sa direction : la force R, appliquée en A, peut donc remplacer les forces P, P', P",...

Remarque. — Il n'est pas nécessaire que le point fasse partie du solide. En effet, on conçoit que, pour faire le raisonnement, on ait supposé le point invariablement lié au corps ; mais, dès que l'on a trouvé la force R qui, appliquée en A, peut remplacer les forces P, P', P'',... on n'a plus à s'occuper de l'hypothèse que l'on a faite sur le point 0. Mais, il est évident que, pour pouvoir remplacer les forces P, P', P",... parla force R, il faut que cette force rencontre le corps en im quelconque de ses points. Si cela n'a pas lieu, la force R ne pourra remplacer les forces P, P', P",... que si le point A où on la suppose appliquée est invariablement lié au corps.

Compositions des forces parallèles.

247. Théorème I. — Deux forces P, P', parallèles et de même sens, appliquées en deux points AetB d'un corps solide, ont une résultante R, parallèle à leur direction commune^ agissant dans le même sens, égale à leur som7ne, et située dans leur plan. De pluSy le point d^applicalion de cette résultante partage la droite AB qui joint les points d'application des composantes en deux segments inversement proportionnels à ces composantes.

Nous ne troublerons pas l'état du système (flg. 77),

en appliquant en A et B, deux forces S et — S, égales et directement opposées (n^ 246, P). Nous aurons alors le système des quatre forces :

qui sera équivalent au système des deux forces P, P'.

Or, les deux forces P et S appliquées au point A, ont une résultante Q, qui ^era donnée par la règle du parallélogramme. De môme, les deux forces P' et — S, appliquées en B, auront ime résultante Q'. Soit le point de rencontre des deux forces Q et Q' ; ces deux forces pourront être supposées appliquées en (n^ 246, 2"*),

et leur résultante sera la résultante de P et P'. Cela posé, décomposons ces deux forces Q et Q' au point 0, suivant deux directions, l'une parallèle à AB, l'autre parallèle aux forces P et P'. La force OQi = Q nous donnera ainsi une force S' égale et parallèle à S, et une force OD, égale et parallèle à P. De même, la force OQ'i = Q' nous donnera une force — S', égale et parallèle à — S, et une force OE, égale et parallèle à P'. Or, les deux forces S' égales et de sens contraires, appliquées au point se font équilibre. Il ne reste donc que les forces OD et OE, égales et parallèles à P et P'. Mais, ces deux forces étant de même direction et de même sens, et appliquées en un même point 0, donnent une résultante R égale à leur somme P + P'.

La première partie du théorème est donc démontrée. Cette résultante R peut être supposée appliquée au point C où elle rencontre la droite AB. Reste à déterminer la position du point C. Or, les deux triangles semblables AOC, Q^OD nous donnent :

AC ^ QiP ^ QP ^ S^ OC OD AP P'

De même, les triangles semblables COB, EOQ'j nous donnent :

CB EQ'i OC EO

P'Q' BP'

iséquent :

AC

CB

et, par suite, le point C divise la droite AB dans le rapport inverse des forces P et P'.

Remarque. — La position du point C ne dépend que du rapport des forces? et P', etnon de leur grandeur absolue, ni de leur direction. On en conclut le théorème suivant :

Le point d'application de la résultante de deux forces parallèles ne varie pas quand on altère les grandeurs ou les directions des deux forces, pourvu qu'elles restent parallèles et que leur rapport reste le même.

248. Réciproquement, on peut décomposer une force R, appliquée à un corps solide, en deux forces P, P', parallèles à R, de même sens et satisfaisant aux conditions précédentes.

249. Théorème II. — Deiux> forces P, F parallèles et de sens contraires^ appliquées en deux points AetB c^un corps solide^ ont une résultante R, parallèle à leur direction^ agissant dans le sens de la plus grande j égale à leur différence^ et située dans leur plan. Le point d'application de la résultante est situé sur le prolongement de la droite AB, du côté de la plus grande^ et ses distances axtx points AetB sont inversement proportionnelles aux forces appliquées en ces points.

Soit P la plus grande des deux forces données

(fig.78): on peutcon- ^*^ ^^' sidérer cette force P

r^' comme résultant de la composition de deux forces parallèles et de même sens, dont l'une soit P-P' / "^' égale à P', et ap-

pliquée au point B. L'autre, évidemment égale à P — F, sera appliquée en un point C, qui sera déterminé par la proportion (n^ 247) :