BC AC

B& ka

or, si nous désignons par p, p\ r les distances des

trois points A, B, C au plan MN, il vient :

d'où :

(P 4- P') r = Pp + P'p',

ou bien :

Rr = P/3 + py .

En donnant des signes convenables aux distances et aux forces, suivant les conventions adoptées, on vérifiera

facilement le théorème pour le cas de deux forces parallèles et de sens contraii^es, et ensuite on pourra l'étendre au cas général.

256. Les théorèmes précédents nous permettent de déterminer en grandeur et en position la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles.

En eflfet, soient P, P', P",... les forces parallèles données, a, &, les distances de la résultante de ces forces à deux plans qui se coupent suivant ime parallèle à ces forces, {ccy y), (a?', y'),... les quantités analogues pour les forces P, P',... nous aurons (n*** 252 et 255) :

Ra = Pa? + PV + P"^" +...=- 2P^»

Rô = Py -I- py + p"y'' + ... = 2Py.

On en tire, si 2P est différent de zéro :

l^œ ^ IPy

En particulier, si les forces P sont égales et de même sens, on a :

R = nP, a = - 2a?, 6 = - ly.

Discussion. — Nous avons vu que les forces proposées peuvent se réduire à une résultante unique, ou à un couple unique, ou à se faire équilibre.

1"* Dans le premier cas, les deux résultantes partielles

R' et R" sont inégales, et, par suite, on a 2P ^ 0. Les

formules (1) déterminent les distances de la résultante R aux deux plans.

2"" Lorsqu'il y a équilibre, les deux résultantes partielles R' et R" sont égales et directement opposées. On a alors :

D'autre part, si nous désignons par P, F',... les forces qui agissent dans un sens, par P^, P\,... celles qui agissent en sens contraire, nous aurons, en général :

R'ai =Pa? + P'a7' + ,

R'*i=Py+ Py +

Rf'a^ = p^a?i + P'ia?'i + . . . ,

Dans le cas d'équilibre, on a : R' — R", a^ = a^, b^ «- Jg, et il vient :

Fx + Vd + ... — FjO?! — P'iOr'i ... = 0,

Vy + Py + ... — P^yi — P\y\ ... = 0.

Donc, les conditions d'équilibre sont :

ZP = 0, l?œ — 0, 2Py — 0.

La somme algébrique des forces est nulle ; les sommes des moments des forces par rapport à deux plans parallèles à leur direction sont nulles,

3® Si le système se réduit à un couple, on a R' «■ R*' ; mais, on n'a pas à la fois a^ « a^, b^ — b^. Dans ce cas, la somme algébrique des forces est nulle. Si l'on prend les sommes des moments des forces par rapport à deux plans parallèles à leur direction, une de ces sommes, au moins, est difiFérente de zéro.