CHAPITRE IL

Théorie des couples. — Moment d'un couple,

257. Nous avons vu (n** 250) qu'un couple est un système de deux forces égales, parallèles et de sens contraires, appliquées à deux points invariablement liés entre eux. L'inclinaison de ces forces sur la droite qui joint leurs points d'application est arbitraire ; mais, on peut, sans changer l'eflEet des forces, transporter leurs points d'application en un point quelconque de leurs directions (n** 246), et par suite, prendre ces points de manière que la droite qui les joint soit perpendiculaire à la direction commune de ces forces. C'est pourquoi on suppose ordinairement les forces perpendiculaires à cette droite qui s'appelle le bras de levier. Le bras de levier d'un couple est donc la distance des deux forces qui forment le couple.

258. Nous avons vu (n° 250) qu'un couple ne peut pas se réduire à une force unique ; par conséquent, l'on ne peut pas trouver une force unique qui fasse équilibre à deux forces égales, parallèles et de sens contraires. On peut d'ailleurs s'en assurer de la manière* suivante : Supposons qu'une force R puisse faire équilibre aux deux forces P, — P. Nous démontrerons que cette hypothèse est impossible.

Fig. 82.

Y Supposons d'abord que la force R soit oblique par rapport aux deux forces P, — P : Il est évident qu'elle les

rencontrera toutes les deux (fig. 82). Or, si nous composons les deux forces R et P concourantes au point A, nous obtiendrons une force unique R', qui rencontrera évidemment la force — P en un point C. Mais, les forces P, — P, et R se faisant équilibre, par hypothèse, il devra en être de même des deux forces R' et — P, ce qui est impossible, puisque ces forces sont concourantes.

2° Supposons en second lieu que la force R soit parallèle aux deux forces P, — P. Or, si la force R en C fait équilibre aux forces P, — P, (fig. 83), il est évident qu'il existe aussi une force — R, égale, parallèle et

de sens contraire, qui, ^'^- ^^- appliquée au point C,

tel que l'on ait BC = AC, ferait équihbre aux forces P, — P. En effet, les deux systèmes P, — P, -f R, et P, — P, — R, sont identiques. Ceci établi, supposons que les trois forces P, — P, et R se fassent équilibre. Prenons BC = AC, et introduisons au point C deux forces R, — R, égales et directement opposées. Le système

n'étant pas modifié par l'introduction de ces deux forces (n** 208), il est évident que les cinq forces :

se font équilibre. Or, le système P, — P, — R étant en équilibre, il en résulterait qu'il y aurait équilibre entre les deux forces R, appliquées en C et C, ce qui est impossible, puisque ces deux forces égales et parallèles, agissent dans le même sens.

Donc, V effort d'un couple ne peut être comparé à une force.

269. Théorème. — Si Von prend la somme algébrique des moments des deux forces d'un couple par rapport à un point quelconque de son plan (ou par rapport à un aœe perpendiculaire à ce plan), cette somme est constante, et égale au produit de Vune des forces du couple par la longueur de son bras de levier. Soit un point du plan, et soit OAB la perpendiculaire aux deux forces (fig. 84). Le moment de la force P, appliquée en B, est P X OB ; le moment de la force P, appliquée en A, est P X OA: ce dernier est de sens contraire au premier.

La somme des moments des deux forces est donc :

Fig. 84.