P X OB — P X OA « P X AB

On arriverait au même résultat, quelle que soit la position du point dans le plan des deux forces, et, par conséquent, le théorème est démontré.

Ce produit de l'une des forces du couple par son bras de levier est le moment du couple. Nous verrons dans la suite que le moment d'un couple est la mesure de son énergie.

260. Propriété. — Le moment d'un couple peut être représenté par taire du parallélogramme dont les deux forces du couple forment deux côtés opposés.

261. Sens d'un couple. — Si l'on veut se faire une idée des sens de différents couples situés dans un même plan, on supposera que les milieux de leurs bras de levier soient rendus fixes. Soit, par exemple (fig. 85), le

couple (P, — P) ; supposons ^^^' ^^' que le point I, milieu de son

-p bras de levier soit rendu fixe;

menons par ce point une perpendiculaire au plan dans un I sens convenu, et supposons un

^ observateur placé sur cet axe, les pieds en I. L'eflTet des deux forces, et, par conséquent, l'efTet P du couple sera de faire tourner le bras de levier autour de cet axe. Le sens de cette rotation sera celui du couple. On conviendra que le couple sera positif on négatif suivant qu'il tend à faire tourner le bras de levier de gauche à droite ou de droite à gauche.

Il est bon de remarquer que cette tendance du couple à faire tourner son bras de levier est tout-à-fait fictive. Elle ne permet de rien conclure en ce qui concerne Yeffet réel d'un couple sur un corps. Car, il faut bien observer qu'en réalité, il n'y a pas de point fixe dans le plan (à moins qu'on ne le dise). L'idée de la rotation ne sert qu'à faire image, et à distinguer les sens des couples situés dans un môme plan.

Nous verrons plus tard, dans la Dynamique, quel est l'efiFet d'un couple sur un corps. Mais, actuellement, nous n'avons pas besoin de le savoir pour démontrer toutes les propriétés qui vont suivre.

262. Théorème. — Si Von projette un couple sur un plan quelconque^ la projection sera encore un couple. Le moment du couple projeté s'obtient en multipliant le moment du premier couple par le cosinus de Vangle des deux plans.

En effet, le moment du couple projeté (P', — F) est représenté par l'aire du parallélogramme dont les deux forces P' formeront deux côtés opposés (n** 260). Or, ce parallélogramme est évidemment la projection du parallélogramme qui représente le couple (P, — P), et le théorème est démontré.

263. Théorème. — La somme des 7noments des deux forces dun couple par rapport à un axe quelconque^ est égale au moment du couple, projeté sur un plan perpendiculaire à cet axe.

En effet, la somme des moments des deux forces du couple de l'espace par rapport à l'axe est égale (n^ 233) à la somme des moments des projections des forces sur un plan perpendiculaire à l'axe, c'est-à-dire au moment du couple projection.

Or, si A est l'angle que le plan du couple (P, — P) fait avec le plan perpendiculaire à l'axe, nous aurons, en désignant par P'p' le moment du couple projeté, et par Pp le moment du couple de l'espace :

p'p' » pp cos A.

On conclut de là que la somme des moments des deux forces du couple par rapport à un axe est nulle pour A -« 90^ c'est-à-dire lorsque l'axe est parallèle au plâJi

du couple; cette somme est maximum pour A == 0, c'est-à-dire lorsque Taxe est perpendiculaire au plan du couple; enfin, cette somme est constante, lorsque A est constant. Donc, la somme des moments des deux forces d'u7i couple par rapport à une droite^ est la même que la somme des moments de ces forces par rapport à une autre droite parallèle à la pre7nière.

Translation des couples.

Mesure des couples. — Axe d'un couple.

264. Théorème. — Leffel d'un couple n'est pas changé quand on fait tourner son bras de levier autour d'une de ses extrémités, ou autour d'un point quelconque pris sur ce bras de levier.

Soit un couple (P, — P) dont AB est le bras de levier (fig. 86), et soit un point pris sur ce bras de levier.

Faisons tourner AB en ^"^- ^^- A'B', et introduisons aux

points A' et B' deux forces égales à P, directement opposées, et perpendiculaires à A'B'. Le système n'est pas changé par l'introduction de ces forces (n** 208) Or, les deux forces P et — P, appliquées respectivement en A et A', peuvent être considérées comme appliquées en C : elles se composent en une force unique R' dirigée suivant la bissectrice de l'angle C,

et, par conséquent, suivant la bissectrice de l'angle 0. D'autre part, les deux forces P et — P, appliquées respectivement en B' et B, peuvent être considérées comme appliquées en D ; elles se composeront en une force R", dirigée suivant la bissectrice de l'angle D, ou de l'angle 0. Or, il est évident que les deux forces R' et R", qui peuvent être considérées comme appliquées en 0, sont égales et directement opposées ; donc, elles se détruisent. Le système se réduit donc aux deux forces P et — P, appliquées respectivement en A' et B', et le théorème est démontré.

265. Théorème. — Un couple peut être transporté parallèlement à lui^nême dans son plan, ou dans un plan parallèle, sans que son effet soit changé, pourvu que le nouveau bras de levier soit invariablement lié au pre^nier.

Soit un couple (P, — P) dont le bras de levier est AB, {ûg. 87), et soit A'B' une droite égale et parallèle à AB, invariablement liée à cette dernière. En chacun des points A' et B', introduisons deux forces égales et

parallèles à P, et directement opposées. Le système ne sera pas changé par l'introduction de ces forces. Or, les deux forces + P, appliquées en A et B' se composeront en une force unique 2P, appliquée au milieu de AB', et parallèle aux forces P.

De môme, les deux forces — P, appliquées en A' et B, se composent en une

force unique — 2P, appliquée au milieu de A'B, et parallèle aux forces P : cette dernière force — 2P est donc égale et directement opposée à la force + 2P, et par conséquent, elle la détruit. Le système est donc réduit aux deux forces P, — P, appliquées respectivement en A' et B', c'est-à-dire au couple (P, — P), transporté parallèlement à lui-même.

266. Théorème. — Un couple peut être transporté comme on voudra dans son plan ou dans un plan parallèle invariablement lié au pre^nier^ sans que son effet soit changé, pourvu que le nouveau bras de levier soit invariablement lié au premier,

La démonstration de ce théorème résulte évidemment de la combinaison des deux précédents.

267. Théorème. — Un couple peut être re^nplacé par un autre couple de bras de levier différent, situé dans le même plan ou dans un plan parallèle invariablement lié au premier, pourvu que leurs moments soient égauœ, et qu'ils soient de même sens.

Soit un couple (P, — P) de bras de levier AB « p

(flg. 88) : nous allons démontrer que l'on peut remplacer

ce couple par un autre

couple (P', — P') dont

p' est le bras de levier,

pourvu que l'on ait :

P'p' -=» Pp.

Sur le prolongement de AB, prenons une longueur BC — p\ et introduisons au point C deux forces égales à P' et directement opposées. Le système ne sera pas changé par l'introduction de ces forces. Or, les deux forces P et P', appliquées

Fig. 88.

respectivement en A et C, parallèles et de même sens, se composent en une force unique égale à P + P', et appliquée en un point qui divise la droite AC dans le rapport de P' à P : ce sera donc au point B (n° 247). Mais, les deux forces P + P' et — P, appliquées en B, et directement opposées, se composent en une force P', et le système est donc réduit aux deux forces P' et — P', appliquées en B et C, parallèles et de sens contraires. Ce nouveau couple peut donc remplacer le premier.

On peut encore énoncer ce théorème en disant que deuœ couples de même moment et de même sens^ situés dans un tnême plan ou dans des plans parallèles sont équivalents.

CoROLiAiRB. — Il résulte de ce théorème qu'un couple étant donné, on peut le remplacer par un autre couplû dont le bras de levier est donné, ou par un autre couple dont les forces sont données.

268. Théorème. — Les efforts de deux couples sont proportionnels à leurs moments.

Pour démontrer cette proposition, nous allons d'abord démontrer que deux couples qui agissent sur des bras de levier égaux sont entre eux comme les forces de ces couples.

Soient donc deux couples (P, — P) et (Q, — Q) dont les bras de levier sont égaux : supposons que les forces P et Q soient entre elles dans le rapport de m à n. En remplaçant chacune des forces P par m forces égales, et chacune des forces Q par n forces égales entre elles et aux premières, nous pourrons considérer le couple (P, — P) comme la somme de m couples égaux et de même sens, appliqués l'un sur l'autre, et le couple ^Q^ Q) comme la somme de n couples égaux entre eux et aux premiers, appliqués l'un sur l'autre. Le&

intensités des couples (P, — P), (Q, — Q) seront donc entre elles dans le rapport de m à n, ou dans le rapport de P à Q.

Soient maintenant deux couples quelconques (P, — P), et (Q, — Q) dont les bras de levier sontp et q.

D'après le théorème de l'équivalence des couples (n** 267), on pourra remplacer le couple (Q, — Q) de

bras de levier q, par un couple (— Q, — ^ ) ^^ ^^^

de levier p, puisque ces deux couples auront leurs moments ^aux à Qq. Donc, au lieu des deux couples (P, — P), (Q, — Q), nous aurons les deux couples

(P, — P), (— Q> — Q ) • ^^^^* ^^^ ^^^^ ^^ levier sont

égaux. Or, les intensités de ces couples sont entre elles comme les forces, et nous aurons, en désignant ces intensités par M et N :

ou bien :

M : N = Pp : Qg,

ce qui démontre le théorème énoncé.

Corollaire. — Si l'on prend pour unité de couple celui qui est composé de deux forces égales à l'unité de force, et dont le bras de levier est égal à l'unité de longueur, la formule ci-dessus nous apprend que le couple (P, — P) contient autant de fois l'unité de couple que son moment Fp contient de fois l'unité. Par conséquent, le moment dun couple est la mesure de son effort ou de son intensité.

269. Théorème. — Deux couples de même moment et de sens contraires^ situés dans un mêyne plan ou dans des plans parallèles, se font équilibre.

Fig. 89.

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